Limitando o erro relativo da derivada dado erro relativo da função

Suponhamos que uma função pode ser calculado de tal modo que o limite do erro relativo é ou seja, em que e são, respectivamente, o valor calculado e exacta e$f$$R$$f^-(x) = f(x)(1+r)$$f^-$$f$$f$$|r| \leq R$

Quero obrigado o erro relativo das seguintes aproximações derivados em termos de e para um general$h$$R$$f$

$$\begin{align*} f^{'}(x) &\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\\ f^{''}(x)&\approx \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} \end{align*}$$

Em Ralston e Rabinowitz, os limites são $\frac{R}{h}$ e $\frac{4R}{h^2}$ respectivamente. Mas isso não foi comprovado e foi mencionado de passagem como parte de uma explicação sobre a extrapolação de Richardson.

Alguma idéia em sua prova?

Esse teorema foi mal interpretado pelo autor da pergunta ou há um erro no livro referenciado. Considere o seguinte exemplo de contador:

h = 0,01 R =

$$f(x) = 100+x$$ $$h=0.01$$ $$R = 0.01$$

Em o erro absoluto em cada avaliação de função é , então temos No pior cenário, os dois termos de erro têm o mesmo sinal e não são cancelados. O erro relativo da aproximação derivada pode, portanto, ser de até , o que é muito maior que .100 ∗ 0,01 = 1 f ′ - ( 0 ) = f - ( h ) - f - ( - h $x=0$$100*0.01=1$

$$f'^-(0) = \frac{f^-(h) - f^- (-h)}{2h} = \frac{(100+0.01)\pm 1 - ((100-0.01) \pm 1)}{0.02}$$ 100R/h= $$\implies f'^-(0) = \frac{0.02}{0.02} \pm \frac{1}{0.02}\pm \frac{1}{0.02}$$ $100$$R/h = 1$

Até onde eu sei, não há limite para o erro relativo de um geral, pois ao escolher uma função da forma , o erro relativo na aproximação derivada sempre pode ser aumentado simplesmente aumentando .f ( x ) = n + x $f$$f(x) = n+x$$n$

Por outro lado, podemos calcular um limite dependente de . O limite do erro absoluto para e suficientemente pequeno é: Prova: onde Taylor expandimos torno de e negligenciamos os termos da ordem ou ou superior, já que e são pequenos. Da mesma forma Portanto h R f ′ - ( x ) = f ( x + h ) - f ( x - h $f$$h$$R$ f-(x+h)=(f(x)+hf′(x))(1±R

$$f'^-(x) = \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \pm \frac{f(x)R}{h}$$ $$f^-(x+h) = (f(x)+hf'(x))(1 \pm R)$$ $$\implies f^-(x+h) =f(x)+hf'(x)\pm Rf(x)$$ $f$$x$$hR$$h^2$$h$$R$ $$f^-(x-h) = f(x) - hf'(x) \pm Rf(x)$$ $$f'^-(x) = \frac{2hf'(x) \pm Rf(x) \pm Rf(x)}{2h}$$ $$\implies f'^-(x) =f'(x) \pm \frac{Rf(x)}{h}$$ onde mais uma vez consideramos o pior cenário, no qual os erros se somam.

O limite do erro relativo é, portanto, dependente de e pode ser expresso como $f(x)$

$$f'^-(x) = f'(x)\left(1\pm\frac{Rf(x)}{hf'(x)}\right)$$

Da mesma forma, temos

$$f''^-(x) = f''(x)\left(1 \pm \frac{4Rf(x)}{h^2f''(x)}\right)$$

Para responder sua pergunta direta (e não atender a Brian Borchers, comente o erro de truncamento):

Pela definição que você tem para , seu erro relativo , e sua definição não diz isso explicitamente, mas não é constante, portanto, o erro relativo emé .| ( f - - f ) / f | ≤ R r | f - ( x + h ) - f - ( x - h ) | ≤ 2 $f^-$$|(f^--f)/f|\leq R$$r$$|f^-(x+h)-f^-(x-h)|$$\leq 2R$

Isso leva diretamente aos erros relativos de serem e da mesma forma que seja . R/h$f^{'-}$$R/h$ 4R / h $f^{''-}$$4R/h^2$