Existe uma diferença óbvia entre a diferença finita e o método do volume finito (passando da definição de ponto das equações para médias integrais sobre as células). Mas acho que o FEM e o FVM são muito semelhantes; ambos usam forma integral e média sobre as células.
Qual é o método FEM que a FVM não faz? Eu li um pouco sobre o FEM. Entendo que as equações são escritas na forma fraca, isso dá ao método um ponto de declaração ligeiramente diferente do FVM. No entanto, não entendo em nível conceitual quais são as diferenças. O FEM faz alguma suposição sobre como o desconhecido varia dentro da célula? Isso também não pode ser feito com o FVM?
Eu estou vindo principalmente da perspectiva 1D, então talvez o FEM tenha vantagens em mais de uma dimensão?
Não encontrei muita informação disponível sobre esse tópico na rede. A Wikipedia possui uma seção sobre como o FEM é diferente do método das diferenças finitas, mas é isso, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .
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Respostas:
Elemento finito: integrais volumétricas, ordem polinomial interna
Os métodos clássicos de elementos finitos assumem espaços de aproximação contínuos ou fracamente contínuos e solicitam que integrais volumétricas da forma fraca sejam satisfeitas. A ordem da precisão é aumentada aumentando a ordem de aproximação dentro dos elementos. Os métodos não são exatamente conservadores, portanto, muitas vezes lutam com a estabilidade por processos descontínuos.
Volume finito: integrais de superfície, fluxos de dados descontínuos, ordem de reconstrução
Os métodos de volume finito usam espaços de aproximação constantes por partes e solicitam integrais contra funções de teste constantes por partes. Isso produz declarações exatas de conservação. A integral de volume é convertida em integral de superfície e toda a física é especificada em termos de fluxos nessas integrais de superfície. Para problemas hiperbólicos de primeira ordem, esta é uma solução de Riemann. Os fluxos elípticos de segunda ordem são mais sutis. A ordem de precisão é aumentada usando vizinhos para (conservadoramente) reconstruir representações de ordem superior do estado dentro dos elementos (reconstrução / limitação de declive) ou reconstruindo fluxos (limitação de fluxo). O processo de reconstrução geralmente não é linear para controlar oscilações em torno de recursos descontínuos da solução, veja métodos de variação total decrescente (TVD) e essencialmente não-oscilatórios (ENO / WENO). É necessária uma discretização não linear para obter simultaneamente precisão mais alta que a de primeira ordem em regiões suaves e variação total limitada entre descontinuidades, consulteTeorema de Godunov .
Comentários
Tanto o FE quanto o FV são fáceis de definir precisão de até segunda ordem em grades não estruturadas. O FE é mais fácil de ir além da segunda ordem em redes não estruturadas. O FV lida com malhas não conformes com mais facilidade e robustez.
Combinando FE e FV
Os métodos podem ser casados de várias maneiras. Os métodos descontínuos de Galerkin são métodos de elementos finitos que usam funções básicas descontínuas, adquirindo os solucionadores de Riemann e mais robustez para processos descontínuos (especialmente hiperbólicos). Os métodos DG podem ser usados com limitadores não lineares (geralmente com alguma redução na precisão), mas satisfazem uma desigualdade de entropia por célula sem limitação e, portanto, podem ser usados sem limitação para alguns problemas em que outros esquemas requerem limitadores. (Isso é especialmente útil para otimização baseada em adjuntos, pois torna os adjuntos discretos mais representativos das equações adjuntas contínuas.) , veja esta respostapara mais. Os métodos DG de reconstrução (também conhecidos como ou "Recovery DG") usam reconstrução conservadora do tipo FV e enriquecimento de ordem interna e, portanto, são um superconjunto dos métodos FV e DG.PNPM
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As diferenças conceituais do MEF e FVM são tão sutis quanto as diferenças entre uma árvore e um pinheiro.
Se você comparar um determinado esquema do FEM com a discretização da FVM aplicada a um problema específico, poderá falar de diferenças fundamentais que se tornam evidentes em diferentes abordagens de implementação e diferentes propriedades de aproximação (como @Jed Brown descreveu em sua resposta).
Mas, em geral, eu diria que a FVM é um caso especial do MEF, usando uma grade de células e funções de teste constantes por partes. Essa relação também é usada para análise de convergência da FVM, como pode ser encontrado no livro de Grossmann, Roos & Stynes: Tratamento Numérico de Equações Diferenciais Parciais .
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A diferença básica é simplesmente o significado a ser anexado aos resultados. O FDM prevê valores pontuais de qualquer aspecto da solução. A interpolação entre esses valores geralmente é deixada para a imaginação do usuário. A FVM prediz médias de variáveis conservadas dentro de volumes de controle específicos. Portanto, ele prevê as variáveis conservadas integradas e pode ser mostrado para convergir para soluções fracas (descontínuas). O FEM fornece um conjunto de valores discretos dos quais uma solução aproximada pode ser deduzida sem ambiguidade em todos os lugares, invocando um conjunto de funções básicas. Geralmente, mas não necessariamente, as variáveis envolvidas são conservadoras. É possível ter métodos de diferenças finitas que sejam conservadores em algum sentido, de acordo com uma regra de quadratura específica.
Essas são questões de definição. Existem muitas variações dos três métodos. Nem todos os métodos são de um único tipo e os detalhes variam entre as áreas de aplicação. Os pesquisadores que inventam um novo método empregam essas ferramentas que ajudarão a fornecer as propriedades que eles estão procurando. Como você parece ter encontrado, é difícil encontrar uma discussão autorizada e seria difícil para mim fornecer uma. O melhor conselho que posso dar é continuar lendo, sem esperar uma resposta totalmente clara, mas dando credibilidade às coisas que fazem sentido para você.
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