Calcular

A função tem singularidade próxima de . Porém, essa singularidade pode ser levantada: para , deve-se ter , pois E, portanto, No entanto, a forma não é apenas definida em , também é numericamente instável nas proximidades desse ponto; a fim de avaliar para muito pequena numericamente, pode-se utilizar uma expansão de Taylor, ou seja, um truncamento da série de energia acima mencionado.x = 0 x = 1 f ( x ) = 1 e x = ∑ k = 0 x $f \colon x \mapsto (e^x-1)/x$$x = 0$$x = 1$$f(x) = 1$(ex-1)/x=∑k=1x k -

P : A função tem um nome? Em outras palavras, isso é um problema comum?$f$

P : Alguém conhece uma biblioteca C / C ++ que lida bem com essa situação, ou seja, usa a expansão de Taylor de um grau apropriado próximo de 0 e a outra representação longe de zero?

Possivelmente, pode-se começar com a função que faz parte do padrão C99, e calcula e x - 1 com precisão próximo de x = 0 .$\mathtt{expm1}$$e^x-1$$x=0$

Esta é uma instância de erro de cancelamento. A biblioteca padrão C (a partir de C99) inclui uma função chamada expm1que evita esse problema. Se você usar em expm1(x) / xvez de (exp(x) - 1.0) / x, não terá esse problema (veja o gráfico abaixo).

Os detalhes e a solução desse problema específico são discutidos detalhadamente na Seção 1.14.1 de Precisão e estabilidade de algoritmos numéricos . A mesma solução também é explicada na página 19 do artigo de W. Kahan, intitulado Quão fúteis são as avaliações irracionais do arredondamento na computação em ponto flutuante? . A implementação real da expm1biblioteca GNU C é diferente da abordagem descrita nas referências acima e está completamente documentada no código fonte .

Para responder à sua primeira pergunta, não, a função não tem um nome (pelo menos não é amplamente conhecido).

Como outros já mencionaram, a melhor maneira de calcular a função é tratar vários casos especiais. É assim que qualquer biblioteca calcularia a função.

1. Caso 0: x = 0, retorne 1.
2. $|x|<\delta$$1+x/2$$\delta$double2e-85e-4
3. Caso mais: retorno expm1(x)/x.

Você pode ser mais sofisticado e, caso especial, mais coisas com a série Taylor truncada, mas provavelmente não vale a pena. De fato, não está totalmente claro que o caso 1 precise ser tratado separadamente, pois, como k20 apontou, o cancelamento é seguro. No entanto, lidar com isso separadamente me deixaria mais confiante.

Lembro que essa pergunta foi feita anteriormente neste site e, surpreendentemente, a resposta é que você só precisa igualar a igualdade exata de zero em casos especiais. Os erros são cancelados perto de zero. Eu não tenho o link.

Sim, esta resposta estava completamente errada. Não sei ao certo por que foi tão votado, provavelmente porque foi declarado com tanta autoridade. Encontrei o link que tinha em mente. Estava na troca de pilha matemática aqui , não na troca de pilha scicomp. A expm1fórmula de cancelamento de erro-free é fornecida na resposta por JM e usa uma u = exp(x)transformação.

Para responder à primeira pergunta e fornecer um método (provavelmente numericamente ineficiente) para a segunda, observe que esse é o inverso da função geradora dos números de Bernoulli .