Tenho dificuldade em distinguir entre esses dois conceitos. Este é o meu entendimento até agora.
Um processo estacionário é um processo estocástico cujas propriedades estatísticas não mudam com o tempo. Para um processo estacionário de sentido estrito, isso significa que sua distribuição de probabilidade conjunta é constante; para um processo estacionário de sentido amplo, isso significa que seus 1º e 2º momentos são constantes.
Um processo ergódico é aquele em que suas propriedades estatísticas, como variância, podem ser deduzidas de uma amostra suficientemente longa. Por exemplo, a média da amostra converge para a verdadeira média do sinal, se você tiver uma média de tempo suficiente.
Agora, parece-me que um sinal teria que ser estacionário, a fim de ser ergódico.
- E que tipos de sinais poderiam ser estacionários, mas não ergódicos?
- Se um sinal tem a mesma variação para todos os tempos, por exemplo, como a variação média do tempo pode não convergir para o valor verdadeiro?
- Então, qual é a verdadeira distinção entre esses dois conceitos?
- Você pode me dar um exemplo de um processo estacionário sem ser ergódico ou ergódico sem ser estacionário?
Respostas:
Um processo aleatório é uma coleção de variáveis aleatórias, uma para cada instante em consideração. Normalmente, isso pode ser tempo contínuo ( ) ou tempo discreto (todos os números inteiros , ou todos os instantes de tempo onde é o intervalo da amostra).−∞<t<∞ n nT T
Agora, para um caminho de amostra de um processo estacionário , podemos calcular a média de tempo mas, o que tem a ver com , a média do processo aleatório? (Observe que não importa qual valor de usamos; todas as variáveis aleatórias têm a mesma distribuição e, portanto, a mesma média (se a média existir)). Como o OP diz, o valor médio ou o componente DC de um caminho de amostra converge para o valor médio do processo se o caminho da amostra for observado por tempo suficiente, desde que o processo seja ergódicox(t) ˉ x = 1
x¯=12T∫T−Tx(t)dt x¯ μ=E[X(t)] t e estacionário, etc. Ou seja, a ergodicidade é o que nos permite conectar os resultados dos dois cálculos e afirmar que
é igual a Um processo para o qual essa igualdade se mantém é considerado ergódico e um processo é ergódico se sua função de autocovariância tiver a propriedade:
limT→∞x¯=limT→∞12T∫T−Tx(t)dt
μ=E[X(t)]=∫∞−∞ufX(u)du. C X ( τ ) lim T → ∞ 1CX(τ) limT→∞12T∫T−TCX(τ)dτ=0.
Assim, nem todos os processos estacionários precisam ser ergódicos. Mas existem outras formas de ergodicidade também. Por exemplo, para um processo autocovariância-ergódico , a função de autocovariância de um segmento finito (digamos, para do caminho da amostra converge para a função de autocovariância do processo como . Uma declaração geral de que um processo é ergódico pode significar qualquer uma das várias formas ou um formato específico; não se pode dizer,t∈(−T,T) x(t) CX(τ) T→∞
Como exemplo da diferença entre os dois conceitos, suponha que para todos os em consideração. Aqui é uma variável aleatória. Este é um processo estacionário: cada tem a mesma distribuição (a distribuição de ), a mesma média , a mesma variação etc .; cada e têm a mesma distribuição conjunta (embora degenerada) e assim por diante. Mas o processo não é ergódico porque cada caminho de amostra é uma constante . Especificamente, se um teste do experimento (realizado por você ou por um ser superior) resultar emX(t)=Y t Y X(t) Y E[X(t)]=E[Y] X(t1) X(t2) Y tendo o valor , o caminho da amostra do processo aleatório que corresponde a esse resultado experimental possui o valor para todos os , e o valor DC do caminho da amostra é , não , não importa quanto tempo você observe o caminho da amostra (bastante chato). Em um universo paralelo, o teste resultaria em e o caminho da amostra nesse universo teria valor para todos os . Não é fácil escrever especificações matemáticas para excluir essas trivialidades da classe de processos estacionários e, portanto, este é um exemplo muito mínimo de um processo aleatório estacionário que não é ergódico.α α t α E[X(t)]=E[Y] Y=β β t
Pode haver um processo aleatório que não é estacionário, mas é ergódico? Bem, N0 , não se por ergódico queremos dizer ergódico de todas as maneiras possíveis: por exemplo, se medirmos a fração de tempo durante a qual um segmento longo do caminho da amostra tem valor no máximo , essa é uma boa estimativa de , o valor do CDF (comum) dos em se o processo for semelhante ao ser ergódico em relação às funções de distribuição. Mas , nós pode ter processos aleatórios que sãox(t) α P(X(t)≤α)=FX(α) FX X(t) α não estacionário, mas ainda assim é -ergódico médio e autocovariância -ergódico. Por exemplo, considere o processo
que assume quatro valores igualmente prováveis e . Observe que cada é uma variável aleatória discreta que, em geral, assume quatro valores igualmente prováveis e , É fácil ver que, em geral, e{X(t):X(t)=cos(t+Θ),−∞<t<∞} Θ 0,π/2,π 3π/2 X(t) cos(t),cos(t+π/2)=−sin(t),cos(t+π)=−cos(t) cos(t+3π/2)=sin(t) X(t) X(s) têm distribuições diferentes e, portanto, o processo nem sequer é estacionário de primeira ordem. Por outro lado,
para cada enquanto
Em suma, o processo tem média zero e sua função de autocorrelação (e autocovariância) depende apenas da diferença de tempo e, portanto, o processo éE[X(t)]=14cos(t)+14(−sin(t))+14(−cos(t))+14sin(t)=0 t E[X(t)X(s)]=14[cos(t)cos(s)+(−cos(t))(−cos(s))+sin(t)sin(s)+(−sin(t))(−sin(s))]=12[cos(t)cos(s)+sin(t)sin(s)]=12cos(t−s). t−s senso amplo estacionário. Mas não é estacionário de primeira ordem e, portanto, também não pode ser estacionário para ordens superiores. Agora, quando o experimento é realizado e o valor de é conhecido, obtemos a função de amostra que claramente deve ser uma das e que possuem o valor DC que é igual a e cuja função de autocorrelação é , igual a , e, portanto, esse processo é ergódico e ergódico de autocorrelação mesmo que não seja estacionário. Para finalizar, observo que o processo não é ergódico com relação à função de distribuiçãoΘ ±cos(t) ±sin(t) 0 0 12cos(τ) RX(τ) isto é, não se pode dizer que seja ergódico em todos os aspectos.
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Vamos considerar um processo aleatório hipotético em que as funções de amostra são valores DC e são diferentes entre si:
A média temporal de e é constante, mas não é igual. se meu processo é estacionário, e são iguais e RVs (consulte a resposta de Dilip)X 2 ( t ) X ( t 1 ) X ( t 2 )X1(t) X2(t) X(t1) X(t2)
Portanto, a média do conjunto de é constante.X(t)
Essa média do conjunto certamente não é igual à média temporal de e (elas mesmas não são iguais). Isso pode ser chamado de um processo estacionário, mas não ergódico.X 2 ( t )X1(t) X2(t)
Por outro lado, onde é um RV é ergódico.θX(t)=Acos(ωt+θ) θ
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Espero que este vídeo (do Instituto de Tecnologia da Flórida. Intitulado "o que é staionary sentido amplo, sentido estrito, sinais ergódicas" pelo Dr. Ivica Kostanic em sua classe Teoria Communications) a partir de 16:55 poderia tirar suas dúvidas
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Um processo ergódico é um processo pelo qual você pode substituir a média ergódica pela média temporal.
A média real, variância, etc ... são definidas seguindo um processo ao longo do tempo e calculando a média, etc ... Por exemplo, se você quiser saber a média do meu tamanho, precisará calculá-la a partir de quando nasci para quando eu morrer. Obviamente, o exemplo posterior não é um processo estacionário.
A média ergódica seria se, em vez de seguir meu tamanho ao longo do tempo, você congelasse o tempo e medisse uma média de uma amostra de diferentes seres humanos. Não há razão para que esses dois meios sejam iguais, portanto o processo do meu tamanho não é ergódico.
Esse é um mau exemplo, mas fica mais importante se você considerar o caso simples de um gás em equilíbrio. Por exemplo, a velocidade quadrática média é anotada (média ao longo do tempo), mas é frequentemente calculada considerando a média do conjunto : a média da velocidade quadrada de todas as moléculas de o gás em um instante . ⟨V2⟩tV2¯ ⟨V2⟩ t
A maioria dos teoremas da termodinâmica requer o uso de , mas é mais fácil calcular e usar . A hipótese ergódica é a hipótese que afirma que é correto substituir uma pela outra. Um processo ergódico é um processo para o qual a hipótese ergódica é verdadeira. ⟨V2⟩V2¯ ⟨V2⟩
A hipótese ergódica é falsa no caso geral.
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Para um exemplo do caso oposto (ou seja, um processo aleatório que é ergódico, mas não estacionário), considere um processo de ruído branco modulado em amplitude por uma onda quadrada determinística. A média de tempo de cada função de amostra é igual a zero, assim como a média do conjunto ao longo do tempo. Portanto, o processo é ergódico. No entanto, a variação de qualquer função de amostra individual mostra a dependência original da onda quadrada no tempo, portanto o processo não é estacionário.
Este exemplo em particular é estacionário de senso amplo, mas pode-se inventar exemplos relacionados que ainda são ergódicos, mas nem mesmo estacionários de senso amplo.
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como eu entendo, o exemplo abaixo mostra um processo ergódico e estacionário
média 2 2 2 var 1
porque a média e a variação de cada coluna são constantes ao longo do tempo e a média e a variação de cada linha são constantes ao longo do tempo
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