Como encontro a resposta de impulso de um sistema a partir de sua representação no espaço de estados usando a matriz de transição de estado?

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Suponha que temos um linear representado na notação de espaço de estado padrão:

y(t)=Cx(t)

x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)
y(t)=Cx(t)+Du(t)

Para obter sua resposta de impulso, é possível fazer a transformação de Laplace para obter

Y =

sX=AX+BU
Y=CX+DU

e depois resolva a função de transferência que é

YU=C(sIA)1B+D

Da mesma forma, para um sistema discreto, a transformação de Z

x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]
y[n]=Cx[n]+Du[n]

é

YU=C(zIA)1B+D

Esse processo parece um pouco longo e eu lembro que existe uma maneira de encontrar a resposta ao impulso usando a matriz de transição de estado, que é a solução para das primeiras equações de cada par. Alguém sabe como fazer isso?x

Phonon
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Respostas:

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Você pode abordar o problema usando a matriz de transição de estado, resolvendo o ODE não homogêneo padrão na primeira equação. A solução para éx˙(t)=Ax(t)+Bu(t)

x(t)=x0eAt+0teA(tt)Bu(t)dt

onde . A quantidade e A t é chamada de matriz de transição de estado (também a solução para o ODE homogêneo), à qual me referirei como Ξ ( t ) (não me lembro da notação padrão para isso). Tomando x 0 = 0 , a equação para y ( t ) se tornax0=x(0)eAtΞ(t)x0=0y(t)

y(t)=C0tΞ(tt)Bu(t)dt+Du(t)

A equação acima fornece a saída conforme a entrada convolveu com a resposta de impulso do sistema e, de fato, você pode fazer a transformação de Laplace da equação acima para verificar. Notando que a transformada de Laplace é ( s I - A ) - 1 e circunvoluções nos produtos domínio do tempo tornam-se no domínio s, obtemosΞ(t)=eAt(sIA)1

Y=C(sIA)1BU+DU

que oferece a mesma função de transferência da sua pergunta.


Quanto ao seu comentário sobre a abordagem de transformação totalmente de Laplace ser longa, eu não diria necessariamente que é assim. No entanto, a abordagem da matriz de transição de estado pode ser mais simples de implementar , porque várias operações que a envolvem podem ser calculadas com multiplicações simples da matriz e nada mais.

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Descrição muito boa.
Jason R