Como encontro a resposta de impulso de um sistema a partir de sua representação no espaço de estados usando a matriz de transição de estado?

Suponha que temos um linear representado na notação de espaço de estado padrão:

y(t)=Cx(t

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$ $$y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

Para obter sua resposta de impulso, é possível fazer a transformação de Laplace para obter

Y

$$sX=AX+BU$$ $$Y=CX+DU$$

e depois resolva a função de transferência que é

$$\frac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D$$

Da mesma forma, para um sistema discreto, a transformação de $\mathcal{Z}$

$$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$$ $$y[n] = Cx[n] + Du[n]$$

é

$$\frac{Y}{U}=C(zI-A)^{-1}B+D$$

Esse processo parece um pouco longo e eu lembro que existe uma maneira de encontrar a resposta ao impulso usando a matriz de transição de estado, que é a solução para das primeiras equações de cada par. Alguém sabe como fazer isso?$x$

Você pode abordar o problema usando a matriz de transição de estado, resolvendo o ODE não homogêneo padrão na primeira equação. A solução para é$\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$

$$x(t)=x_0 e^{At}+\int_{0}^te^{A(t-t')}Bu(t')dt'$$

onde . A quantidade e A t é chamada de matriz de transição de estado (também a solução para o ODE homogêneo), à qual me referirei como Ξ ( t ) (não me lembro da notação padrão para isso). Tomando x 0 = 0 , a equação para y ( t ) se torna$x_0=x(0)$$e^{At}$$\Xi(t)$$x_0=0$$y(t)$

$$y(t)=C\int_0^t\Xi(t-t')Bu(t')dt'+Du(t)$$

A equação acima fornece a saída conforme a entrada convolveu com a resposta de impulso do sistema e, de fato, você pode fazer a transformação de Laplace da equação acima para verificar. Notando que a transformada de Laplace é ( s I - A ) - 1 e circunvoluções nos produtos domínio do tempo tornam-se no domínio s, obtemos$\Xi(t)=e^{At}$$(sI-A)^{-1}$

$$Y=C(sI-A)^{-1}BU+DU$$

que oferece a mesma função de transferência da sua pergunta.

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Quanto ao seu comentário sobre a abordagem de transformação totalmente de Laplace ser longa, eu não diria necessariamente que é assim. No entanto, a abordagem da matriz de transição de estado pode ser mais simples de implementar , porque várias operações que a envolvem podem ser calculadas com multiplicações simples da matriz e nada mais.