Quando podemos escrever o princípio da incerteza de Heisenberg como uma igualdade?

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Sabemos que o Princípio da incerteza de Heisenberg declara que

ΔfΔt14π.

Mas (em muitos casos, para a wavelet de Morlet), vi que eles mudaram a desigualdade para uma igualdade. Agora minha pergunta é quando é que podemos mudar a desigualdade para uma igualdade:

ΔfΔt=14π
why =
Homem elétrico
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parece muito interessante
dato datuashvili
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como eu sei que é igual, se distribuição de Gauss é a forma ideal, consulte este livro The Illustrated Transformada Wavelet Handbook: Teoria Introdução e Aplicações em Ciência, Engenharia, Medicina e Finanças
dato datuashvili
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o link está quebrado, envie um e-mail ao livro ou envie outro link, por favor? meu e-mail: <[email protected]> graças @datodatuashvili
Electricman

Respostas:

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É importante definir as larguras de tempo e frequência e de um sinal antes de discutir quaisquer formas especiais do princípio da incerteza. Não há uma definição única dessas quantidades. Com definições apropriadas, pode ser demonstrado que apenas o sinal gaussiano satisfaz o princípio da incerteza com igualdade.Δ ωΔtΔω

Considere um sinal com transformada de Fourier satisfazendoF ( ω )f(t)F(ω)

-f2(t)dt=1(energia unitária)-t|f(t)|2dt=0 0(centrado em torno t=0 0)-ω|F(ω)|2dω=0 0(centrado em torno ω=0 0)

Nenhuma dessas condições é realmente uma restrição. Todos eles podem ser satisfeitos (para sinais com energia finita) por escala, tradução e modulação apropriadas.

Se agora definirmos as larguras de tempo e frequência da seguinte maneira

Δt2=-t2|f(t)|2dtΔω2=-ω2|F(ω)|2dω

então o princípio da incerteza afirma que

(2.6.2)Δt2Δω2π2

(se desaparecer mais rápido que para )f(t)1/tt±

onde a desigualdade é satisfeita com a igualdade para o sinal gaussiano

(2.6.3)f(t)=απe-αt2

Os números da equação acima correspondem à prova abaixo, da Wavelets and Subband Coding de Vetterli e Kovacevic (p.80):

insira a descrição da imagem aqui

Matt L.
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obrigado pela matemática, vou tentar entender. @ matt-l
Electricman
@ Matt L .: Por que você define as larguras de tempo e frequência com um fator de peso quadrado? Vi na escola que as variações são e não. Variações de distribuições são com um fator de peso linear? O que é isso? Então, isso significa que esse princípio da incerteza não fala sobre as variações de uma função e a variação de seu espectro, mas sobre outra coisa?
Martijn Courteaux 15/01/15
@ MartijnCourteaux: Essa é apenas uma maneira possível de definir a largura de um sinal. Quando aplicado a uma função de tempo, costuma ser chamado de duração do RMS e é simplesmente o segundo momento de . |f(t)|2
Matt L.
É possível afirmar matematicamente um princípio de incerteza de Heisenberg que envolve o segundo momento de ? Eu posso entender que Heisenberg usou | f ( x ) | 2 , porque essa é a probabilidade de uma função de onda de partículas. Mas, eu gostaria de conhecer o princípio de Heisenberg no contexto do processamento de sinais. f(t)|f(x)|2
Martijn Courteaux 16/01/2015
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@MartijnCourteaux: Esse é o princípio da incerteza no contexto do processamento de sinais. O segundo momento de não tem uma interpretação como duração, porque f ( t ) pode ser positivo e negativo. Imagine um sinal estranho f ( t ) . Seu segundo momento - t 2 f ( t ) d t é sempre zero (se a integral convergir). f(t)f(t)f(t)-t2f(t)dt
Matt L.
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Não posso lhe dar toda a teoria por trás disso (pois ela literalmente enche os livros), mas acontece que Heisenberg se torna uma igualdade exata para precisamente essa família de sinais:

st0 0,ω0 0,σ,ϕ,γ(t)=exp(-(t-t0 0σ)2+Eu(ϕ+ω0 0(t-t0 0)+γ(t-t0 0)2))

onde todos os parâmetros são números reais. Essa família é gerada por simplplomorfismos quadráticos em tempo-frequência a partir de um único átomo de Gabor. Esses simplectomorfismos preservam a relação de incerteza de Heisenberg.

ΔFΔTγ

A noção de área de frequência de tempo pode, no entanto, ser generalizada para medir a área de formas que não estão alinhadas com o eixo de tempo e frequência. Isso significa que, em vez do produto de incerteza entre F e T, medimos o produto mínimo de incerteza de quaisquer duas variáveis ​​conjugadas abrangidas por F e T. Vou poupar os detalhes, mas para esta definição de área de tempo-frequência, a família de sinais fornece você é o mínimo.

Jazzmaniac
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Não é o Gabuor fijlter fuonctiuons? `
Jean-Yves
Uma razão pela qual "enche os livros" é que as muitas condições necessárias para a igualdade são definidas e limitadas com precisão (muitas vezes além de qualquer utilidade em qualquer outro contexto, como o mundo real).
hotpaw2
O contexto original do princípio da incerteza de Heisenberg era a física, especificamente a mecânica quântica, onde as variáveis ​​conjugadas em questão são posição e momento. Não se limita à análise de tempo / frequência.
usar o seguinte comando
@BZ, você está pregando para o coral aqui. Sou físico quântico matemático. No entanto, não vejo bem o ponto do seu comentário aqui ou aquilo em sua própria resposta.
Jazzmaniac
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O princípio da incerteza estabelece um limite teórico para a resolução, portanto nunca é escrito como uma igualdade.

Os relacionamentos de igualdade que você está encontrando destinam-se a um contexto de análise específico e a uma implementação de análise. Nesse caso, o contexto é a análise de sinais, portanto tempo / frequência são as variáveis ​​conjugadas de interesse e a implementação é a wavelet específica em uso.

O relacionamento de igualdade fornece uma maneira de comparar resoluções entre diferentes implementações de análise. Deve-se tomar cuidado ao interpretar esses relacionamentos, porque a definição de resolução não deve, mas pode variar.

Um relacionamento de igualdade é apropriado depois que você define duas coisas: 1) o significado matemático da resolução. 2) o método de análise (neste caso, escolha da wavelet).

user2718
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Se você se aprofundar, o princípio de Heisenberg se torna muito mais do que uma afirmação sobre resolução. Está profundamente ligado à geometria da frequência do tempo em uma estrutura matemática chamada geometria simplética não comutativa. Ele fornece uma medida teórica da informação para informações de frequência do tempo e torna-se precisamente quantizado integralmente. Você pode até usá-lo para generalizar o teorema de Shannon para reconstrução de regiões TF arbitrárias.
precisa saber é o seguinte
Na mecânica quântica, o princípio da incerteza é qualquer uma de uma variedade de desigualdades matemáticas que afirmam um limite fundamental para a precisão com a qual certos pares de propriedades físicas de uma partícula conhecida como variáveis ​​complementares, como posição xe momento p, podem ser conhecidos simultaneamente. Por exemplo, em 1927, Werner Heisenberg afirmou que quanto mais precisamente a posição de uma partícula é determinada, menos precisamente seu momento pode ser conhecido e vice-versa. [Wikipedia - mas eu aprendi isso em Física e visitado novamente em classes de análise]
user2718