Sabemos que o Princípio da incerteza de Heisenberg declara que
Mas (em muitos casos, para a wavelet de Morlet), vi que eles mudaram a desigualdade para uma igualdade. Agora minha pergunta é quando é que podemos mudar a desigualdade para uma igualdade:
why =
fourier-transform
wavelet
resolution
Homem elétrico
fonte
fonte
Respostas:
É importante definir as larguras de tempo e frequência e de um sinal antes de discutir quaisquer formas especiais do princípio da incerteza. Não há uma definição única dessas quantidades. Com definições apropriadas, pode ser demonstrado que apenas o sinal gaussiano satisfaz o princípio da incerteza com igualdade.Δ ωΔt Δω
Considere um sinal com transformada de Fourier satisfazendoF ( ω )f( T ) F( ω )
Nenhuma dessas condições é realmente uma restrição. Todos eles podem ser satisfeitos (para sinais com energia finita) por escala, tradução e modulação apropriadas.
Se agora definirmos as larguras de tempo e frequência da seguinte maneira
então o princípio da incerteza afirma que
(se desaparecer mais rápido que para )f( T ) 1 / t√ t → ± ∞
onde a desigualdade é satisfeita com a igualdade para o sinal gaussiano
Os números da equação acima correspondem à prova abaixo, da Wavelets and Subband Coding de Vetterli e Kovacevic (p.80):
fonte
Não posso lhe dar toda a teoria por trás disso (pois ela literalmente enche os livros), mas acontece que Heisenberg se torna uma igualdade exata para precisamente essa família de sinais:
onde todos os parâmetros são números reais. Essa família é gerada por simplplomorfismos quadráticos em tempo-frequência a partir de um único átomo de Gabor. Esses simplectomorfismos preservam a relação de incerteza de Heisenberg.
A noção de área de frequência de tempo pode, no entanto, ser generalizada para medir a área de formas que não estão alinhadas com o eixo de tempo e frequência. Isso significa que, em vez do produto de incerteza entre F e T, medimos o produto mínimo de incerteza de quaisquer duas variáveis conjugadas abrangidas por F e T. Vou poupar os detalhes, mas para esta definição de área de tempo-frequência, a família de sinais fornece você é o mínimo.
fonte
O princípio da incerteza estabelece um limite teórico para a resolução, portanto nunca é escrito como uma igualdade.
Os relacionamentos de igualdade que você está encontrando destinam-se a um contexto de análise específico e a uma implementação de análise. Nesse caso, o contexto é a análise de sinais, portanto tempo / frequência são as variáveis conjugadas de interesse e a implementação é a wavelet específica em uso.
O relacionamento de igualdade fornece uma maneira de comparar resoluções entre diferentes implementações de análise. Deve-se tomar cuidado ao interpretar esses relacionamentos, porque a definição de resolução não deve, mas pode variar.
Um relacionamento de igualdade é apropriado depois que você define duas coisas: 1) o significado matemático da resolução. 2) o método de análise (neste caso, escolha da wavelet).
fonte