Solução de um problema de convolução de um sinal 1D

Estou com problemas tentando resolver este exercício. Eu tenho que calcular a convolução deste sinal:

$$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$$

onde $u(t)$ é a função Heavyside

bem, eu apliquei a fórmula que diz que a convolução desses dois sinais é igual a

$$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$$

onde é a transformada de Fourier do primeiro sinal e W ( f ) é a transformada de Fourier do segundo sinal$X(f)$$W(f)$

bem, a transformada de Fourier de $e^{-kt}u(t)$ é

$$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$$

Eu tenho que fazer o segundo sinal o mais igual possível a $\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

então eu faço esta operação:

$$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$$ isso é igual $${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$$

certo ou não?

Mesmo sabendo que essa é uma resposta muito tardia, tentarei responder a essa pergunta porque a considero instrutiva e também porque o número de votos positivos sugere que essa pergunta é de interesse geral para a comunidade.

Como já foi sugerido na pergunta, vamos definir dois sinais e w ( t ) como x ( t ) = e - k t u ( t ) $x(t)$$w(t)$

$$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$$

Uma possível interpretação da convolução é que um sinal exponencialmente amortecido x ( t ) é filtrado por um filtro passa-baixo ideal com resposta de impulso w ( t ) . Na questão, também foi corretamente apontado que a convolução no domínio do tempo corresponde à multiplicação no domínio da frequência. A integral de Fourier de x ( t ) pode ser facilmente calculada:$(x*w)(t)$$x(t)$$w(t)$$x(t)$

$$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$$

A transformada de Fourier de $w(t)$$\omega_0=2\pi f_0$

$$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$$

Comparando (1) com a definição de , vemos que w ( t ) é simplesmente um filtro passa-baixo de ganho de unidade com frequência de corte ω 0 = π / 10 : W $w(t)$$w(t)$$\omega_0=\pi/10$

$$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$$ $u(\omega)$

Para encontrar a função de tempo $y(t)=(x*w)(t)$$Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$

$$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$$

$\text{Ei}(x)$$\text{Si}(x)$$\text{Ci}(x)$

$y(t)$$k=0.05$$\omega_0=\pi/10$

$x(t)$$y(t)$$y(t)$$t<0$$\omega_0=\pi$$\pi/10$