Livros / recursos para implementar várias funções matemáticas na aritmética de ponto fixo para fins de DSP

Estou procurando livros ou recursos que cubram o seguinte em detalhes:

• implementar funções matemáticas (por exemplo, logaritmo, exponencial, seno, cosseno, inverso) na aritmética de ponto fixo para fins de DSP.

• técnicas como o uso de tabelas de pesquisa, séries de Taylor etc.

Estou bastante familiarizado com a programação C e estou mais interessado nos algoritmos sobre como implementar várias funções matemáticas de maneira eficiente.

a forma polinomial geral é:

$$\begin{align} f(u) &= \sum\limits_{n=0}^{N} \ a_n \ u^n \\ \\ &= a_{\small{0}} + \Bigg(a_{\small{1}} + \bigg(a_{\small{2}} + \Big(a_{\small{3}} + \,... \big(a_{\small{N-2}} + (a_{\small{N-1}} + a_{\small{N}} \,u \,)u \, \big)u \ ...\Big)u \, \bigg)u \, \Bigg)u\\ \end{align}$$

a última forma está usando o método de Horner , que é altamente recomendado, especialmente se você estiver fazendo isso no ponto flutuante de precisão única.

depois, para algumas funções específicas:

raiz quadrada:

$$\begin{align} f(x-1) & \approx \sqrt{x} \quad \quad 1 \le x \le 2 \quad \quad N=4\\ a_0 & = 1.0 \\ a_1 & = 0.49959804148061 \\ a_2 & = -0.12047308243453 \\ a_3 & = 0.04585425015501 \\ a_4 & = -0.01076564682800 \\ \end{align}$$

E se $2 \le x \le 4$, use o acima para avaliar $\sqrt{\tfrac{x}{2}}$ e multiplique esse resultado com $\sqrt{2}$ para obter $\sqrt{x}$. como com$\log_2(x)$, aplique força de $2$ scaling para dimensionar o argumento para o intervalo necessário.

logaritmo de base 2:

$$\begin{align} x\cdot f(x-1) & \approx \log_2(x) \quad \quad 1 \le x \le 2 \quad \quad N=5\\ a_0 & = 1.44254494359510 \\ a_1 & = -0.7181452567504 \\ a_2 & = 0.45754919692582 \\ a_3 & = -0.27790534462866 \\ a_4 & = 0.121797910687826 \\ a_5 & = -0.02584144982967 \\ \end{align}$$

exponencial de base 2:

$$\begin{align} f(x) & \approx 2^x \quad \quad 0 \le x \le 1 \quad \quad N=4\\ a_0 & = 1.0 \\ a_1 & = 0.69303212081966 \\ a_2 & = 0.24137976293709 \\ a_3 & = 0.05203236900844 \\ a_4 & = 0.01355574723481 \\ \end{align}$$

seno:

$$\begin{align} x\cdot f(x^2) & \approx \sin\left(\tfrac{\pi}{2} x \right) \quad \quad -1 \le x \le 1 \quad \quad N=4 \\ a_0 & = 1.57079632679490 \\ a_1 & = -0.64596406188166 \\ a_2 & = 0.07969158490912 \\ a_3 & = -0.00467687997706 \\ a_4 & = 0.00015303015470 \\ \end{align}$$

cosseno (use seno):

$$\cos(\pi x) = 1 \, - \, 2 \, \sin^2 \left(\tfrac{\pi}{2} x \right)$$

tangente:

$$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

tangente inversa:

$$\begin{align} \frac{x}{f(x^2)} & \approx \arctan(x) \quad \quad -1 \le x \le 1 \quad \quad N=4 \\ a_0 & = 1.0 \\ a_1 & = 0.33288950512027 \\ a_2 & = -0.08467922817644 \\ a_3 & = 0.03252232640125 \\ a_4 & = -0.00749305860992 \\ \end{align}$$

$$\arctan(x) = \tfrac{\pi}{2} - \arctan\left( \tfrac{1}{x} \right) \quad \quad 1 \le x$$

$$\arctan(x) = -\tfrac{\pi}{2} - \arctan\left( \tfrac{1}{x} \right) \quad \quad x \le -1$$

seno inverso:

$$\arcsin(x) = \arctan\left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right)$$

cosseno inverso:

$$\begin{align} \arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) \\ &= \frac{\pi}{2} - \arctan\left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right)\\ \end{align}$$

Embora não seja específico ao ponto fixo, eu recomendo o livro "Math Toolkit for Real-Time Programming" de Jack Crenshaw. Ele vem com um CD com o código fonte.

A TI possui bibliotecas IQMath para todos os seus microcontroladores de ponto fixo. Eu os achei uma mina de ouro de funções de matemática e DSP de ponto fixo, não necessariamente limitadas a chips de TI.

MSP430 C28X

A aproximação de Chebyshev pode ajudar a calcular coeficientes polinomiais próximos do ideal para aproximar uma função em um intervalo finito. Você executa a rotina de aproximação em um PC para obter um conjunto específico de coeficientes polinomiais, que podem ser aplicados em qualquer plataforma que você desejar (por exemplo, incorporado / DSP). A impressão fina é mais ou menos a seguinte:

• Isso funciona apenas para funções de uma variável; se você tem alguma função$z=f(x,y)$ então a aproximação de Chebyshev não vai ajudá-lo.
• A função que você está aproximando deve ser "parecida com um polinômio". Cantos, curvas acentuadas e muitas manobras requerem polinômios de ordem superior para atingir um determinado nível de precisão.
• Manter a ordem polinomial baixa é importante - acima da quinta ou mais, você pode começar a ver erros numéricos.
• A aproximação de Chebyshev usa os polinômios de Chebyshev avaliados sobre o domínio [-1,1]; portanto, se o intervalo de entrada para sua função for significativamente diferente, talvez seja necessário dimensionar / compensar a entrada adequadamente antes de determinar os coeficientes e antes de aplicá-los. Por exemplo, se eu me preocupo com uma função no intervalo de entrada$x \in [0,20]$ então eu posso definir $u = (x\times 0.1) - 1$ de modo a $u$ varia de -1 a +1 e posso avaliar um polinômio em $u$para calcular o resultado necessário. Sem esse dimensionamento, você pode encontrar erros numéricos mais facilmente - ou declarado de outra maneira. Para a mesma precisão, você pode precisar de comprimentos de bits mais altos para calcular valores intermediários, e isso geralmente é indesejável.