Como calcular respostas complexas médias (e justificativas)?

Estou desenvolvendo um software que calcula a resposta de um sistema comparando a FFT dos sinais de entrada e saída. Os sinais de entrada e saída são divididos em janelas e, para cada janela, os sinais são subtraídos à mediana e multiplicados por uma função Hann. A resposta do instrumento para essa janela é então a proporção das FFTs dos dados processados.

Eu acredito que o procedimento acima é padrão, embora eu possa estar descrevendo mal. Meu problema vem em como combinar as respostas das várias janelas.

Tanto quanto posso ver, a abordagem correta é calcular a média dos valores complexos em todas as janelas. A amplitude e a resposta de fase são, então, a amplitude e a fase do valor médio complexo em cada frequência:

av_response = sum_windows(response) / n
av_amplitude = sqrt(real(av_response)**2 + imag(av_response)**2)
av_phase = atan2(imag(av_response), real(av_response))

com loops implícitos nos compartimentos de frequência.

Mas me pediram para alterar isso para calcular a amplitude e a fase em cada janela primeiro e depois calcular a média das amplitudes e fases em todas as janelas:

amplitude = sqrt(real(response)**2 + imag(response)**2)
av_amplitude = sum_windows(amplitude) / n
phase = atan2(imag(response), real(response))
av_phase = sum_windows(phase) / n

Argumentei que isso está incorreto porque os ângulos médios estão "simplesmente errados" - a média de 0 e 360 ​​graus é 180, por exemplo, mas as pessoas com quem estou trabalhando responderam dizendo "OK, apenas exibiremos amplitude".

Então, minhas perguntas são:

• Estou correto ao pensar que a segunda abordagem também é geralmente incorreta para amplitudes?
• Em caso afirmativo, existem exceções que possam ser relevantes e que possam explicar por que as pessoas com quem estou trabalhando preferem o segundo método? Por exemplo, parece que as duas abordagens concordam quando o ruído se torna pequeno; talvez essa seja uma aproximação aceita para o baixo ruído?
• Se a segunda abordagem estiver incorreta, existem referências autorizadas e convincentes que eu possa usar para mostrar isso?
• Se a segunda abordagem estiver incorreta, existem exemplos bons e fáceis de entender que mostrem isso para amplitude (como a média de 0 e 360 ​​graus faz para a fase)?
• Alternativamente, se eu estou errada, o que seria um bom livro para me educar-me melhor?

Tentei argumentar que a média de -1 1 1 -1 1 -1 -1 deve ser zero em vez de 1, mas isso não convence. E embora eu ache que poderia, com o tempo, construir um argumento baseado na estimativa da máxima probabilidade, dado um modelo de ruído específico, não é o tipo de raciocínio que as pessoas com quem estou trabalhando ouçam. Portanto, se não estou errado, preciso de um argumento poderoso da autoridade ou de uma demonstração "óbvia".

[Tentei adicionar mais tags, mas não consigo encontrar as relevantes e não consigo definir novas como um novo usuário - desculpe]

A estimativa da função de transferência geralmente é implementada de maneira ligeiramente diferente do método que você descreve.

Seu método calcula

$$\left\langle \frac{\mathcal{F}[y]}{\mathcal{F}[x]} \right\rangle$$

$\langle$$\rangle$$\mathcal{F}$

Uma implementação mais típica calculará a densidade espectral cruzada de x e y dividida pela densidade espectral de potência de x:

$$\frac{\langle \mathcal{F}[y] \cdot \mathcal{F}[x]^* \rangle}{\langle|\mathcal{F}[x]|^2\rangle} = \frac{\langle \mathcal{F}[y] \cdot \mathcal{F}[x]^* \rangle}{\langle\mathcal{F}[x]\cdot\mathcal{F}[x]^*\rangle}$$

$\cdot$$*$

$\mathcal{F}[x]$

Estimação incoerente

Seu empregador sugeriu que você estimasse a função de transferência usando

$$\frac{|\langle \mathcal{F}[y]|\rangle}{\langle |\mathcal{F}[x]|\rangle}$$

Isso funcionará , mas tem duas grandes desvantagens:

1. Você não recebe nenhuma informação de fase.
2. $x$$y$

Seu método e o método que descrevi contornam esses problemas usando uma média coerente .

Referências

A idéia geral de usar segmentos médios sobrepostos para calcular densidades espectrais de potência é conhecida como método de Welch . Acredito que a extensão de usar isso para estimar as funções de transferência também seja conhecida como método de Welch, embora não tenha certeza se isso é mencionado no artigo de Welch. Consultar o artigo de Welch pode ser um recurso valioso. Uma monografia útil sobre o assunto é o livro de Bendat e Piersol, Random Data: Analysis and Measurement Procedures .

Validação

Para validar seu software, sugiro aplicar vários casos de teste, nos quais você gera ruído branco gaussiano e o alimenta através de um filtro digital com uma função de transferência conhecida. Alimente as entradas e saídas em sua rotina de estimativa da função de transferência e verifique se a estimativa converge para o valor conhecido da função de transferência.

Bem-vindo ao processamento de sinais!

Você está absolutamente correto. Você não pode simplesmente média de magnitudes e fases da DFT separadamente, especialmente fases. Aqui está uma demonstração simples:

$z = a+bi$$|z|$$\angle z$$z$

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$ $$\angle z = \tan ^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$$

$z$$z_1$$z_2$

$$z = \frac{ z_1 + z_2 } {2} = \frac{ a_1+b_1i + a_2 + b_2i } {2} = \frac{ (a_1+a_2) + (b_1 + b_2)i } {2}$$

Nesse caso,

$$|z| = \sqrt{\frac{(a_1+a_2)^2}{4} + \frac{(b_1+b_2)^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2}\neq \frac{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}+\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}{2}$$

Além disso,

$$\angle z = \frac{\tan ^{-1} \left( \frac{b_1}{a_1} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{b_2}{a_2} \right)}{2} \neq \tan ^{-1} \left( \frac{2(b_1+b_2)}{2(a_1+a_2)} \right)$$

$|z|$$\angle z$

Agora, para fazer o que você está tentando fazer, sugiro o seguinte. Teoricamente, você pode encontrar uma resposta de impulso de um sistema dividindo o DFT da saída pelo DFT da entrada. No entanto, na presença de ruído, você obterá resultados muito estranhos. Uma maneira um pouco melhor de fazer isso seria usar a estimativa de resposta de impulso FFT de canal duplo, que é a seguinte (derivação não fornecida aqui, mas você pode encontrá-la online).

$G_i(f) = \dfrac{ F^1_i(f) + F^2_i(f) + \cdots + F^N_i(f) }{N}$$F^k_i(f)$$k$$k$$i$$G_o(f) = \dfrac{ F^1_o(f) + F^2_o(f) + \cdots + F^N_o(f) }{N}$$G$$\hat{H}(f)$$H(f)$

$$\hat{H}(f) = \frac{G_o(f)G_i^*(f)}{|G_i(f)|^2}$$

$(\cdot)^*$

Essa é uma diferença entre a média coerente e incoerente dos espectros de FFT. A média coerente tem mais probabilidade de rejeitar ruídos aleatórios na análise. Incoerente tem mais probabilidade de acentuar magnitudes de ruído aleatórias. Qual destes é mais importante para o seu relatório de resultados?