Explicação intuitiva da correlação cruzada no domínio da frequência

De acordo com o teorema da correlação cruzada: a correlação cruzada entre dois sinais é igual ao produto da transformada de Fourier de um sinal multiplicada pelo conjugado complexo da transformada de Fourier de outro sinal. Depois de fazer isso, quando pegamos o sinal do produto, obtemos um pico que indica a mudança entre dois sinais.

Não consigo entender como isso funciona? Por que eu receberia um pico que indica a mudança entre dois sinais. Eu obtive as contas em: http://mathworld.wolfram.com/Cross-CorrelationTheorem.html, mas não sou capaz de entender o que isso significa intuitivamente. Alguém pode me dar uma explicação ou me indicar os documentos certos?

Obrigado!

$x(t)$$y(t)$$X(f)$$Y(f)$

Você pode ler mais sobre a derivação desse teorema no link acima da Wikipedia. Agora, a convolução é uma operação muito importante para sistemas lineares por si só, portanto a teoria sobre suas propriedades é bem desenvolvida.

$x(t)$$y(t)$

No seu exemplo, você está calculando o seguinte:

Lembre-se de que no domínio de Fourier, a conjugação complexa é equivalente à reversão do tempo no domínio do tempo (isso segue diretamente da definição da transformação de Fourier). Portanto, usando a primeira equação dada acima, podemos afirmar que:

$x(t)$$y(t)$

% Matlab function for frequency domain cross correlation
function [Lag,C]=xcorrf(X,Y,L)
% X, Y ---> Input vectors 
% L --->  maximum lag (must be less than minimum of (length of X, Y)
% C ---> correlation vector
% Lag ---> lag times  
X=X(:);
Y=Y(:);
s1=size(X);
s2=size(Y);
D=min(s1(1,1),s2(1,1));
for i=1:L
    X1=ifft(fft(X(1:D-i,:)).*conj(fft(Y(i+1:D,1))));
    C(i,1)=X1(1,1);
end

C=flipud(C);
X1=ifft(fft(X(1:D,:)).*conj(fft(Y(1:D,1))));
C(L+1,1)=X1(1,1);
for i=1:L
    X1=ifft(fft(Y(1:D-i,:)).*conj(fft(X(i+1:D,1))));
    C(i+L+1,1)=X1(1,1);
end
Lag=-L:1:L;
end