Qual é a relação entre o sigma no Laplaciano de Gaussiano e os dois sigmas na Diferença de Gaussianos?

Entendo que um filtro de Laplaciano de Gaussiano pode ser aproximado por um filtro de Diferença de Gaussiano, e que a proporção dos dois sigmas para este último deve ser de 1: 1,6 para a melhor aproximação. No entanto, não tenho certeza de como os dois sigmas da Diferença de Gaussianos se relacionam com o sigma para o Laplaciano de Gaussiano. O sigma menor no primeiro é igual ao sigma do último? O sigma maior é? Ou o relacionamento é outra coisa?

Entendo que um filtro de Laplaciano de Gaussiano pode ser aproximado por um filtro de Diferença de Gaussiano, e que a proporção dos dois sigmas para este último deve ser de 1: 1,6 para a melhor aproximação

Em teoria, quanto menor a proporção entre dois sigmas, melhor a aproximação. Na prática, você receberá erros numéricos em algum momento, mas enquanto estiver usando números de ponto flutuante, valores menores que 1,6 fornecerão uma melhor aproximação.

Para ilustrar, plotamos uma seção transversal do LoG e DoG para alguns valores de k no Mathematica:

Como você pode ver, k = 1,6 não é uma aproximação ideal. Por exemplo, k = 1,1 daria uma aproximação muito mais próxima.

Mas você geralmente deseja calcular aproximações de LoG para uma série de sigmas. (Caso contrário, por que se preocupar com a aproximação de DoG? Calcular uma única imagem filtrada de LoG não é mais caro do que calcular uma única imagem filtrada de DoG.) Portanto, o valor de k geralmente é escolhido para que você possa calcular uma série de gaussianas filtradas imagens com sigmas s, s k, s k ^ 2, s * k ^ 3 ... e calcule as diferenças entre gaussianos adjacentes. Portanto, se você escolher um k menor, terá que calcular mais "camadas" de gaussianos para o mesmo intervalo sigma. k = 1.6 é uma troca entre querer uma aproximação aproximada e não querer calcular muitos gaussianos diferentes.

No entanto, não tenho certeza de como os dois sigmas da Diferença de Gaussianos se relacionam com o sigma para o Laplaciano de Gaussiano. O sigma menor no primeiro é igual ao sigma do último?

$t=\sigma ^2$$\sqrt{\sigma ^2+\text{$\Delta $t}}$$\sqrt{\sigma ^2-\text{$\Delta $t}}$$\text{$\Delta $t}\to 0$

$\sigma _{\text{Laplace}}=\sigma \sqrt{\frac{1+k^2}{2}}$

Talvez as fórmulas aqui possam ajudá-lo.

Como a representação do espaço da escala satisfaz a equação de difusão, o LoG pode ser calculado como diferença entre duas fatias do espaço da escala.

Portanto, ao derivar a fórmula de DoG, primeiro aproximamos o LoG com diferenciação finita. Penso que o rácio específico para sigma deriva do facto de ser dado um passo unitário na escala para aproximar o LoG em primeiro lugar.