filtros IIR complementares

Eu gostaria de um par de filtros IIR complementares (passa baixo / passa alto). Por complementar, quero dizer, quando a saída dos dois filtros é somada, o sinal original é recuperado. Eu pensei que poderia construir esses pares com filtros butterworth, mas usando um pouco de matemática, descobri que apenas os filtros de primeira ordem eram complementares. Eu pensei que tinha feito isso antes, mas estou esquecendo como.

Algo está errado com a minha matemática? Existe uma solução fácil que estou esquecendo?

Obrigado!

A resposta de Juancho está certa, no entanto, há um problema: o filtro complementar de passa-baixo geralmente NÃO é um filtro de passa-alto, pelo menos não no sentido que você está procurando. Por exemplo, o elogio de um passe passa Butterworth de 4ª ordem não parece um filtro passa-alto de 4ª ordem. Tem cerca de metade da inclinação, atinge um ganho máximo de ca. +6 dB abaixo da frequência de cruzamento e que lentamente se aproxima do ganho de unidade acima da frequência de cruzamento.

Os únicos filtros passa alta e baixa correspondentes que somam a unidade são os filtros de primeira ordem. No entanto, é possível encontrar filtros de ordem superior correspondentes que somam ao ganho de unidade, para que a função de transferência geral da soma seja um filtro de passagem total. Estes são filtros Butterworth de ordem ímpar e até mesmo filtros Linkwitz Riley.

$H_2(e^{j\theta}) = 1 - H_1(e^{j\theta})$$h_2[n] = \delta[n] - h_1[n]$

$H_1(z)$$\frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$$H_2(z)$$\frac{(a_0 - b_0) + (a_1 - b_1) z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$

$H_2$$(a_0-b_0)$$(a_1 - b_1)$

Os coeficientes recursivos são os mesmos para os dois filtros.