Como é chamada a relação entre os PSDs de entrada e saída de filtro?

Se um sinal fixo de sentido amplo é alimentado para um filtro LTI com a função de transferência , a densidade espectral de potência (PSD) da saída pode ser expressa como: $X$ $H$ $Y$

R_{Y} (f) = {| H (f) |}^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f) = \left|H(f)\right|^2R_X(f)$

onde indica o PSD de . $R_X$ $X$

Essa relação tem um nome comum?

transfer-function terminology Gilles
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Respostas:

Não sei o nome do relacionamento, mas é chamada de função de transferência de energia do sistema LTI. O espectro de potência de saída é o espectro de potência de entrada multiplicado pela função de transferência de energia , assim como para os sinais determinísticos, o espectro de potência de saída é o espectro de entrada multiplicado pela função de transferência . $\vert H(f)\vert^2$ $H(f)$

Dilip Sarwate
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Para ser mais pedante, H (f) é a função de resposta em frequência . H (w) é a função de transferência.

Mtrw 20/09/11

@mtrw Você tem uma citação para fazer backup de seu pedantismo? O texto clássico de Bracewell, The Fourier Transform e Its Applications chama a função de transferência; outros textos chamam ou a função de transferência como você faz; outros ainda chamam função de transferência. Portanto, forneça uma citação que diz que chamar da função de transferência está errado, pois esse nome está reservado para .

H (f)

$H(f)$

H (ω)

$H(\omega)$

H (j ω)

$H(j\omega)$

H (s)

$H(s)$

H (f)

$H(f)$

H (ω)

$H(\omega)$

Dilip Sarwate

Primeiro, tenho que me desculpar por um erro estúpido. Eu deveria ter dito que H (f) é o FRF e H (s) é a função de transferência. Infelizmente, não tenho mais minha cópia dos sinais e sistemas de Oppenheim, Schafer & Young, e é aí que me lembro de aprender isso. O mnemônico que me foi ensinado foi que a transformação de Fourier da resposta ao impulso (H (f) ou H (jw)), uma vez que é avaliada para sinusóides puros, dá a resposta a frequências. As transformadas de Laplace e z (H (s) ou H (z)) fornecem funções de transferência.

Mtrw 21/09/11

A relação que você tem resulta do teorema de Wiener-Khinchin (WK). O teorema WK relaciona principalmente a autocorrelação da entrada e sua densidade espectral de potência (PSD) como um par de transformadas de Fourier. Eu não o ouvi mencionado por nenhum nome em particular, a não ser explicitamente dizendo "Do teorema da WK, temos blá ..." No artigo citado:

Um corolário [do teorema WK] é que a transformação de Fourier da função de autocorrelação da saída de um sistema LTI é igual ao produto da transformação de Fourier da função de autocorrelação da entrada do sistema multiplicada pela magnitude quadrática do Fourier transformação da resposta ao impulso do sistema.

Embora tenha sido escrito e comprovado para sinais (ou funções) que são integráveis ao quadrado e, portanto, têm uma transformação de Fourier, é comumente usado para estudar processos aleatórios do WSS (que não têm uma transformação de Fourier) relacionando a autocorrelação por meio de expectativas, e não integrais.

Lorem Ipsum
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É uma boa resposta, mas você realmente não responde à pergunta? Tenho a impressão de que sua resposta é o teorema de Wiener-Khincin, mas acho que isso não é verdade. Espero não parecer mal-humorado, mas a pergunta é realmente precisa, portanto a resposta deve / pode ser precisa.

niaren 20/09/11

Eu discordo da Wikipedia de que o resultado em questão é um corolário do teorema WK. O teorema WK diz que o PSD de um processo WSS é a transformação de Fourier de sua função de autocorrelação. É um resultado totalmente diferente que, quando um processo WSS passa por um sistema linear, a função de autocorrelação de saída está relacionada à autocorrelação de entrada como . Este resultado exige uma análise probabilística e tendo expectativas etc. que estão relacionados com os cálculos usados para provar o teorema WK, mas o resultado é não um corolário do teorema WK

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$

Dilip Sarwate

Continuando meu comentário anterior, uma vez que a análise probabilística estabeleça que , podemos aplicar o teorema WK e dizer e via WK, enquanto e e assim através do teorema da convolução, que é o que o OP estava perguntando. Mas tudo isso é inaplicável, a menos que você mostre primeiro que , e isso não é um corolário do teorema WK.

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$

A_{X} (t) \leftrightarrow R_{X} (f)

$A_X(t) \leftrightarrow R_X(f)$

A_{Y} (t) \leftrightarrow R_{Y} (f)

$A_Y(t) \leftrightarrow R_Y(f)$

h (t) \leftrightarrow H (f)

$h(t) \leftrightarrow H(f)$

\tilde{h} (t) \leftrightarrow H^{*} (f)

$\tilde{h}(t) \leftrightarrow H^*(f)$

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f) = |H(f)|^2 R_X(f)$

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$

Dilip Sarwate

@Dilip Não discordo disso e nunca afirmo que o resultado para o WSS é um corolário da WK. O texto que citei fala apenas sobre a relação entre autocorrelação e transformadas de Fourier para entradas e saídas de um sistema de LTI. Ele não falar sobre WSS. I esclareceu logo abaixo dele, que enquanto WK foi comprovada para sinais integráveis quadrados, é usado para WSS estudo utilizando uma abordagem probabilística e relacionando a autocorrelação via expectativas. É praticamente o que você disse aqui, mas eu não entrei em detalhes, porque o OP nunca pediu isso.

Lorem Ipsum

@yoda Por favor, note que eu disse que estava discordando do que a Wikipedia afirma, não do que você disse. O artigo da Wikipedia afirma que o teorema WK vale para processos WSS e afirma que o resultado é um corolário do teorema WK que não está correto. O resultado pode ser provado para sinais determinísticos (integráveis em quadrado) muito diretamente e então segue através do teorema da convolução. Para processos WSS, estabelecer requer análise probabilística (como você diz corretamente). Mais abaixo

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f)=|H(f)|^2R_X(f)$

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y=h∗\tilde{h}∗A_X$

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f)=|H(f)|^2R_X(f)$

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y=h∗\tilde{h}∗A_X$

Dilip Sarwate