Transformação rápida de cosseno via FFT

Eu quero implementar a Transformação rápida de cosseno. Eu li na wikipedia , que existe uma versão rápida do DCT que é similarmente calculada à FFT. Tentei ler o artigo Makhoul * citado , para as implementações FTPACK e FFTW que também são usadas no Scipy , mas não consegui extrair o algoritmo realmente. Isto é o que eu tenho até agora:

Código FFT:

def fft(x):
    if x.size ==1:
        return x
    N = x.size
    x0 = my_fft(x[0:N:2])
    x1 = my_fft(x[0+1:N:2])
    k = numpy.arange(N/2)
    e = numpy.exp(-2j*numpy.pi*k/N)
    l = x0 + x1 * e
    r = x0 - x1 * e  
    return numpy.hstack([l,r])

Código DCT:

def dct(x):
    k = 0
    N = x.size
    xk = numpy.zeros(N)
    for k in range(N):     
        for n in range(N):
            xn = x[n]
            xk[k] += xn*numpy.cos(numpy.pi/N*(n+1/2.0)*k)
    return xk 

Julgamento da FCT:

def my_fct(x):
    if x.size ==1:
        return x
    N = x.size
    x0 = my_fct(x[0:N:2]) # have to be set to zero?
    x1 = my_fct(x[0+1:N:2])
    k = numpy.arange(N/2)
    n = # ???
    c = numpy.cos(numpy.pi/N*(n+1/2.0)*k)
    l = x0 #???
    r = x0 #???
    return numpy.hstack([l,r])

* J. Makhoul, "Uma transformação rápida de cosseno em uma e duas dimensões", IEEE Trans. Acoust. Speech Sig. Proc. 28 (1), 27-34 (1980).

Nxkarange(N)$[0, 1, 2, ..., N-1]$

Tipo 2 DCT usando 4N FFT e sem turnos

O sinal [a, b, c, d]se torna

[0, a, 0, b, 0, c, 0, d, 0, d, 0, c, 0, b, 0, a].

Em seguida, pegue a FFT para obter o espectro

[A, B, C, D, 0, -D, -C, -B, -A, -B, -C, -D, 0, D, C, B]

jogue fora tudo, menos o primeiro [A, B, C, D], e pronto:

u = zeros(4 * N)
u[1:2*N:2] = x
u[2*N+1::2] = x[::-1]

U = fft(u)[:N]
return U.real

Tipo 2 DCT usando 2N FFT espelhado (Makhoul)

[a, b, c, d][a, b, c, d, d, c, b, a][A, B, C, D, 0, D*, C*, B*][A, B, C, D]$e^{-j \pi k \over 2 N}$

y = empty(2*N)
y[:N] = x
y[N:] = x[::-1]

Y = fft(y)[:N]

Y *= exp(-1j*pi*k/(2*N))
return Y.real

Tipo 2 DCT usando 2N FFT acolchoado (Makhoul)

[a, b, c, d][a, b, c, d, 0, 0, 0, 0][A, B, C, D, E, D*, C*, B*][A, B, C, D]$2e^{-j \pi k \over 2 N}$

y = zeros(2*N)
y[:N] = x

Y = fft(y)[:N]

Y *= 2 * exp(-1j*pi*k/(2*N))
return Y.real

DCT tipo 2 usando N FFT (Makhoul)

[a, b, c, d, e, f][a, c, e, f, d, b][A, B, C, D, C*, B*]$2 e^{-j \pi k \over 2N}$

v = empty_like(x)
v[:(N-1)//2+1] = x[::2]

if N % 2: # odd length
    v[(N-1)//2+1:] = x[-2::-2]
else: # even length
    v[(N-1)//2+1:] = x[::-2]

V = fft(v)

V *= 2 * exp(-1j*pi*k/(2*N))
return V.real

Na minha máquina, todas elas têm aproximadamente a mesma velocidade, pois a geração exp(-1j*pi*k/(2*N))leva mais tempo que a FFT. : D

In [99]: timeit dct2_4nfft(a)
10 loops, best of 3: 23.6 ms per loop

In [100]: timeit dct2_2nfft_1(a)
10 loops, best of 3: 20.1 ms per loop

In [101]: timeit dct2_2nfft_2(a)
10 loops, best of 3: 20.8 ms per loop

In [102]: timeit dct2_nfft(a)
100 loops, best of 3: 16.4 ms per loop

In [103]: timeit scipy.fftpack.dct(a, 2)
100 loops, best of 3: 3 ms per loop

$x(n)$

deixei

$y(n) = \Bigl\lbrace \begin{array}{ll} x(n), & n=0,1,...,N-1\\ x(2N - 1 - n), & n=N,N+1,...,2N-1 \end{array}$

O DCT é então dado por

$C(k) = \mathrm{Re}\Bigl\lbrace e^{-j\pi \frac{k}{2N}} FFT\lbrace y(n)\rbrace\Bigr\rbrace$

$2N$$y(n)$$x(n)$$x(n)$

Aqui está o código no MATLAB.

function C = fdct(x)
    N = length(x);
    y = zeros(1,2*N);
    y(1:N) = x;
    y(N+1:2*N) = fliplr(x);
    Y = fft(y);
    k=0:N-1;
    C = real(exp(-j.* pi.*k./(2*N)).*Y(1:N));

Editar:

Nota: A fórmula DCT que está usando é:

$C(k) = 2\sum_{n=0}^{N-1} x(n) \cos\left(\frac{\pi k}{2N}(2n+1) \right)$

Existem várias maneiras de dimensionar a soma para que ela não corresponda exatamente a outras implementações. Por exemplo, o MATLAB usa:

$C(k) = w(k)\sum_{n=0}^{N-1} x(n) \cos\left(\frac{\pi k}{2N}(2n+1) \right)$

$w(0) = \sqrt\frac{1}{N}$$w(1...N-1) = \sqrt{\frac{2}{N}}$

Você pode explicar isso dimensionando corretamente a saída.

Para uma verdadeira computação científica, a quantidade de uso de memória também é importante. Portanto, o ponto N FFT é mais atraente para mim. Isso só é possível devido à simetria hermitiana do sinal. A referência Makhoul é dada aqui. E, na verdade, possui o algoritmo para calcular DCT e IDCT ou DCT10 e DCT01.
http://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/1163351/