Forma dos elementos estruturantes para gradientes morfológicos

Eu estou procurando entender as formas recomendadas de elementos estruturantes usados ​​no cálculo de gradientes morfológicos . De acordo com Pierre Soille: Análise de Imagem Morfológica :

Apenas elementos estruturadores simétricos contendo sua origem são considerados. Ao fazer isso, garantimos que a diferença aritmética seja sempre não-negativa .

A diferença aritmética mencionada na citação refere-se a três combinações atualmente usadas para calcular o gradiente discreto:

• diferença aritmética entre a dilatação e a erosão;
• diferença aritmética entre a dilatação e a imagem original;
• diferença aritmética entre a imagem original e sua erosão.

Mas acho que usar um SE contendo sua origem é suficiente (garante anti-extensividade da dilatação e extensividade da erosão). Nesse caso, o seguinte mantém e garante a não-negatividade nos três casos:

(onde i d é a transformação de identidade)$\varepsilon_B \leq id \leq \delta_B$$id$

Estou procurando um motivo para impor a condição de simetria . Intuitivamente, entendo que usar um SE simétrico é melhor do que usar um não simétrico (por exemplo, examinar uma vizinhança de pixel simétrica). Também me foi sugerido que poderia haver uma razão histórica para essa restrição.

No entanto, eu gostaria de exemplos específicos, argumentos ou referências que apontem para propriedades desejáveis de SE simétricas (ou propriedades indesejáveis ​​de não simétricas).

Para elementos planares (implícitos na expressão "elemento estruturante"), a contenção de origem é suficiente para manter as propriedades de anti-extensividade para erosão e extensividade para dilatação, como pode ser encontrado em muitos textos e você também apontou isso. Então, sim, isso é suficiente para a não-negatividade da diferença aritmética (isso é mostrado diretamente pela contradição). A razão pela qual esse texto está presente no livro de Pierre pode ser simples: um erro. Esta afirmação é apoiada por outros trabalhos (como "Gradientes Morfológicos" de Rivest, Soille, Beucher; ou "Uma Visão Geral da Filtragem Morfológica" de Serra, Vincent)) sobre o gradiente morfológico definido por Beucher em sua tese. Agora, espero que a situação mais comum seja a aplicação de um gradiente de maneira isotrópica,

Agora, para a segunda parte da pergunta (supor que a isotropia não seja suficiente para concluir a resposta). A primeira razão que posso dar para o uso de elementos simétricos é eliminar o ônus de lidar com as múltiplas definições de erosão e dilatação presentes na literatura. Acontece que, quando você considera elementos simétricos, as definições distintas se tornam as mesmas, garantindo o mesmo comportamento entre diferentes implementações. O uso de elementos anisotrópicos também converterá seus objetos, o que pode ser útil apenas para algumas aplicações. Além disso, alguns elementos estruturantes são decompostos trivialmente quando simétricos, permitindo aplicações mais rápidas de operações morfológicas.

Procurei em Jaehne, Gonzalez, Soille (o que você publicou também Mathematical Morphology and Its Applications to Image and Signal Processing) e em alguns outros documentos morfológicos especiais e não encontrei nenhum critério de design para o elemento estruturador nem dicas especiais sobre por que tem que ser simétrico.

Pessoalmente, acho que um SE simétrico é bom para os mesmos efeitos simétricos no objeto que você deseja modificar. Com a minha experiência existente, eu não usaria um SE não simétrico, porque não posso aceitá-lo para nenhum objeto ou cenário e não sei como ele reagirá em outros casos.

No entanto, é uma pergunta interessante e estou tentando obter uma resposta.

Os elementos estruturantes assimétricos produzem uma dilatação da tradução no conjunto ou na imagem original. O tamanho da tradução é determinado pelo deslocamento no centro do elemento estruturador. Por exemplo, você pode tentar isso usando o matlab para o operador de dilatação:

I = imread('circles.png');
se = strel('disk',10); %you could see it with se = strel('line',5,180) 
%too but have to make sure that the origin still lies in the se.
se2 = translate(se,[-5,-5]) %offset the center by 5 pixels
figure, imshow(imdilate(I,se))
figure, imshow(imdilate(I,se2))

Evita-se isso, pois introduz a anisotropia usando o elemento estruturador assimétrico. Mas pode-se usar isso para aplicações em detecção de bordas, eu acho.