Por que o alias é inerentemente não linear?

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Por exemplo, ao ter 2 sinais x(t) e y(t) e transformando cada um com a adição de seus espectros, a operação é linear, pois o resultado seria o mesmo que a transformação de (x+y)(t).

Mesmo quando analisamos as séries de amostragem, cada um dos infinitos elementos se soma linearmente.

Mas como o alias é uma operação não linear e como é provado matematicamente?

Starhowl
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Respostas:

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Eu acho que você quer dizer "imagens" , não "pseudônimos" . Eles se tornam aliases se houver dobragem da reamostragem.

É porque você não está adicionando dois sinais,x(t) e III(t), você está multiplicando-os para que essas imagens apareçam.

xs(t)x(t)III(t/T)=x(t)n=+Tδ(tnT)=Tn=+x(t)δ(tnT)=Tn=+x(nT)δ(tnT)=Tn=+x[n]δ(tnT)

onde x[n]x(nT) e

III(u)n=+δ(un)

III(t/T)=n=+δ(tTn)=n=+δ(tnTT)=n=+Tδ(tnT)=k=+ejk2πTt

A última linha é de fazer séries fourier. Agora, se você usar a propriedade shifting da Transformada de Fourier, a Transformada de Fourier de seráxs(t)

Xs(f)F{xs(t)}=F{x(t)III(t/T)}=F{x(t)k=+ejk2πTt}=F{k=+x(t)ejk2πTt}=k=+F{x(t)ejk2πTt}=k=+X(fkT)

onde .X(f)F{x(t)}

Esse processo não linear de multiplicação gera componentes de frequência que não existiam anteriormente em . Esses novos componentes são simplesmente versões deslocadas do e são chamadas de "imagens" .x(t)X(f)

Robert Bristow-Johnson
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A partir da definição de linearidade de um sistema, o processo de aliasing sob operador de amostragem parece ser linear ... Suponho que o termo distorção de aliasing crie um pouco de entendimento enganoso de que o processo não é linear. A amostragem é uma operação linear (mas variável no tempo) e o alias é apenas um caso específico de amostragem em que há sobreposição espectral. Mas a exposição no domínio do tempo é obviamente linear: OU Estou perdendo alguma coisa aqui. Btw: o aliasing não pode ser invertido, mas todas as transformações lineares devem ser (não tenho certeza)? y(t)=T{x(t)}=(δ(tkT))x(t)
precisa saber é o seguinte
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Dicas:

  • Um sistema LTI pode gerar componentes em alguma frequência se o sinal de entrada for tal que ?ω0x(n)X(ejω0)=0
  • O alias faz isso?

As respostas a essas perguntas são diretas e, combinadas, respondem à pergunta original.

Tendero
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Sei que a amostragem pode ser descrita como uma sucessão de blocos de construção lineares, mas não consigo lembrar a fonte e a página. Essa deve ser a chave, certo?
Starhowl
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@ Tendero: é perfeitamente possível para um sistema linear gerar novas frequências, se for variável no tempo. É apenas um sistema de LTI que não pode.
precisa saber é o seguinte
@ MBaz Obrigado por apontar isso - eu editei a resposta.
Tendero