Substituindo "e" na fórmula de Euler por outro número

A fórmula de Euler permanece válida se usarmos qualquer número real além da constante ? Por exemplo, substituir por 5 faria com que a fórmula ficasse assim: 5 ^ {it} .$e$$e$$5^{it}$

Tentei essa idéia no Matlab e substitui $e$ por alguns outros números reais (por exemplo, 1,5, 10, 2,1) e cada vez que o gráfico ainda mostrava o que parecia ser cosseno e ondas senoidais. A frequência do cos e do pecado estava mudando dependendo da base.

Aqui está mais ou menos a minha abordagem:

w = freq * 2 * pi;
t = 0:0.001:1000 ;

a = real( number ^ (i*wt) ) ; % cos in Euler's formula
b = imag( number ^ (i*wt) ) ; % sin in Euler's formula

Digamos que você esteja interessado em Observe que portanto pode ser escrito como

$$M^{j2\pi f_0 t}. \tag{1}$$ $$M = e^{\log M},$$ $(1)$

$$\begin{align} M^{j2\pi f_0 t} &= \left( e^{\log M} \right) ^ {j2\pi f_0 t} \\ &= e^{j2\pi (f_0\log M) t} \\ &= \cos(2\pi (f_0\log M) t) + j \sin(2\pi (f_0\log M) t), \end{align}$$ que é um sinusóide complexo com frequência . É por isso que usar vez de resulta em uma alteração na frequência.$f_0 \log M$$M$$e$

É uma pergunta interessante. Vamos ver o que os números zero complexos têm a propriedade de que eles "agem como " na fórmula clássica, ou seja, que para todo complexo . Por conveniência, suponha que possamos escrever$w$$e$

$$e^z = w^z$$ $z=x+iy$ $$w=re^{it}$$

O símbolo assume os possíveis valores múltiplos $w^z$

$$w^z =e^{z\log w} = e^{(x+iy)(\overbrace{\ln r + it + 2k\pi i}^{\textrm{possible values of $\log w$}})} =e^{(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)}$$

Isso significa que teremos quando para alguns . Mas isso significa (equacionando partes reais e imaginárias de ambos os lados) Isso pode acontecer para todos os (isto é, todos os ) somente se e .$e^z=w^z$

$$(x+yi)-[(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)] = 2\pi n i$$ $n$ $$\begin{cases}x=x\ln r - yt-2k\pi y\\y=y\ln r + xt +2k\pi x + 2\pi n \end{cases}$$ $z$$x,y$$r=e$$t=k=n=0$

Mas isso significa , portanto, não há outro número complexo que faça o truque.$w =e\cdot e^{0i}=e$$w$

Para qualquer a, porque " " e "ln (x)" são "funções inversas. Portanto, . Então$a= e^{ln(a)}$$e^x$

$$a^{it}= e^{\ln(a^{it})}= e^{it \ln(a)}$$ $$a^{it}= e^{i (t \ln(a))}= \cos(t \ln(a))+ i \sin(t \ln(a)).$$