Substituindo "e" na fórmula de Euler por outro número

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A fórmula de Euler permanece válida se usarmos qualquer número real além da constante ? Por exemplo, substituir por 5 faria com que a fórmula ficasse assim: 5 ^ {it} .ee5it

Tentei essa idéia no Matlab e substitui e por alguns outros números reais (por exemplo, 1,5, 10, 2,1) e cada vez que o gráfico ainda mostrava o que parecia ser cosseno e ondas senoidais. A frequência do cos e do pecado estava mudando dependendo da base.

Aqui está mais ou menos a minha abordagem:

w = freq * 2 * pi;
t = 0:0.001:1000 ;

a = real( number ^ (i*wt) ) ; % cos in Euler's formula
b = imag( number ^ (i*wt) ) ; % sin in Euler's formula

 Exemplo de plotagem de componentes reais e imaginários de: 1,5 ^ (i * 2 * pi * 100 * t)

curioso
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Respostas:

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Digamos que você esteja interessado em Observe que portanto pode ser escrito como

(1)Mj2πf0 0t.
M=eregistroM,
(1)

Mj2πf0 0t=(eregistroM)j2πf0 0t=ej2π(f0 0registroM)t=cos(2π(f0 0registroM)t)+jpecado(2π(f0 0registroM)t),
que é um sinusóide complexo com frequência . É por isso que usar vez de resulta em uma alteração na frequência.f0 0registroMMe
MBaz
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2

É uma pergunta interessante. Vamos ver o que os números zero complexos têm a propriedade de que eles "agem como " na fórmula clássica, ou seja, que para todo complexo . Por conveniência, suponha que possamos escreverWe

ez=Wz
z=x+Euy
W=reEut

O símbolo assume os possíveis valores múltiplos Wz

Wz=ezregistroW=e(x+Euy)(emr+Eut+2kπEupossíveis valores de registroW)=e(xemr-yt-2kπy)+Eu(yemr+xt+2kπx)

Isso significa que teremos quando para alguns . Mas isso significa (equacionando partes reais e imaginárias de ambos os lados) Isso pode acontecer para todos os (isto é, todos os ) somente se e .ez=Wz

(x+yEu)-[(xemr-yt-2kπy)+Eu(yemr+xt+2kπx)]=2πnEu
n
{x=xemr-yt-2kπyy=yemr+xt+2kπx+2πn
zx,yr=et=k=n=0 0

Mas isso significa , portanto, não há outro número complexo que faça o truque.W=ee0 0Eu=eW

MPW
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1

Para qualquer a, porque " " e "ln (x)" são "funções inversas. Portanto, . Entãouma=eeun(uma)ex

umaEut=eem(umaEut)=eEutem(uma)
umaEut=eEu(tem(uma))=cos(tem(uma))+Eupecado(tem(uma)).
HallsofIvy
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Para positivouma
Laurent Duval
@ HallsofIvy: Isso não está totalmente correto. Mesmo assumindo ,uma>0 0umaEut assume vários valores:
umaEut=eEut(emuma+2πkEu)=e-2πkt+Eutemuma=e-2πkt(cos(temuma)+Eupecado(temuma))
(levando k=0 0recupera seu valor específico). E seumaé negativo ou não é real, é ainda mais complicado.
MPW #