Nos livros didáticos, sabemos que o DTFT de é dado por
No entanto, eu não vi um livro didático de DSP que ao menos pretenda fornecer uma derivação mais ou menos sólida de .
Proakis [1] deriva a metade direita do lado direito de configurando na transformação de e diz que é válido exceto (o que é correto). Ele então afirma que, no polo da transformação , temos que adicionar um impulso delta com uma área de , mas isso parece mais uma receita para mim do que qualquer outra coisa.
Oppenheim e Schafer [2] mencionam neste contexto
Embora não seja completamente fácil de mostrar, essa sequência pode ser representada pela seguinte transformação de Fourier:
que é seguido por uma fórmula equivalente a . Infelizmente, eles não se deram ao trabalho de nos mostrar essa prova "não completamente direta".
Um livro que eu realmente não conhecia, mas que encontrei ao procurar uma prova de é Introdução ao processamento de sinais digitais e design de filtros da BA Shenoi. Na página 138, há uma "derivação" de , mas infelizmente está errada. Eu fiz uma pergunta do "quebra-cabeça do DSP" para que as pessoas mostrassem o que há de errado com essa prova.]( 1 )
Então, minha pergunta é:
Alguém pode fornecer uma prova / derivação de que seja sólida ou mesmo rigorosa enquanto estiver acessível para engenheiros com inclinação matemática? Não importa se é apenas copiado de um livro. Eu acho que seria bom tê-lo neste site de qualquer maneira.
Observe que, mesmo em math.SE, quase nada relevante pode ser encontrado: essa pergunta não tem respostas e uma tem duas respostas, uma das quais está errada (idêntica ao argumento de Shenoi) e a outra usa a "propriedade de acumulação" , com o qual eu ficaria feliz, mas é preciso provar essa propriedade, o que o leva de volta ao início (porque ambas as provas provam basicamente a mesma coisa).
Como nota final, criei algo como uma prova (bem, sou engenheiro) e também a publicarei como resposta daqui a alguns dias, mas ficaria feliz em coletar outras provas publicadas ou não publicadas simples e elegantes e, o mais importante, acessíveis aos engenheiros de DSP.
PS: Não duvido da validade de , gostaria apenas de ver uma ou várias provas relativamente diretas.
[1] Proakis, JG e DG Manolakis, processamento de sinais digitais: princípios, algoritmos e aplicativos , 3.ª edição, seção 4.2.8
[2] Oppenheim, AV e RW Schafer, processamento de sinais em tempo discreto , 2ª edição, p. 54
Inspirado por um comentário de Marcus Müller, eu gostaria de mostrar que como é dado pela Eq. satisfaz a exigência
Se é o DTFT de , entãou [ n ]
deve ser o DTFT de
(onde definimos ), porque
Então nós temos
a partir do qual se segue
Com isso, obtemos
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Respostas:
Cedron Dawg postou um interessante ponto inicial nesta resposta . Começa com estas etapas:
Acontece que o termo dentro do limite pode ser expandido da seguinte maneira :
O fator comum fora dos colchetes pode ser expresso como :
A parte real dentro dos colchetes também é igual a :
Por outro lado, a parte imaginária pode ser reescrita como :
Reescrevendo o termo original, obtemos o seguinte:
onde usei e o limite também não é afetado como .M=N−1 M→∞
De acordo com a 7ª definição neste site :
Até agora, temos que:
Se pudéssemos provar que o segundo termo à direita da igualdade é em algum sentido, então terminamos. I pediu que a math.SE e, de facto, que a sequência de funções tende para a distribuição de zero. Então, nós temos isso:0
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Fornecerei duas provas relativamente simples que não exigem nenhum conhecimento da teoria da distribuição. Para uma prova que calcula a DTFT por um processo de limite usando resultados da teoria da distribuição, veja esta resposta de Tendero .
Vou mencionar apenas (e não elaborar) a primeira prova aqui, porque eu a publiquei como resposta a esta pergunta , cujo objetivo era mostrar que uma determinada prova publicada está com defeito.
A outra prova é a seguinte. Vamos primeiro escrever a parte par da sequência de etapas da unidade :u[n]
O DTFT de é(1)
que é igual à parte real do DTFT de :u[n]
Como é uma sequência com valor real, terminamos porque as partes reais e imaginárias de estão relacionadas via transformada Hilbert e, consequentemente, determina exclusivamente . No entanto, na maioria dos textos de DSP, essas relações de transformação de Hilbert são derivadas da equação (que é válida para qualquer sequência causal ), da qual se segue que . Então, para mostrar a relação da transformação de Hilbert entre as partes reais e imaginárias da DTFT, precisamos da DTFT deu[n] U(ω) UR(ω) U(ω) h[n]=h[n]u[n] h[n] H(ω)=12π(H⋆U)(ω) u[n] , que realmente queremos derivar aqui. Então a prova se torna circular. É por isso que escolheremos uma maneira diferente de derivar a parte imaginária de .U(ω)
Para derivar , escrevemos a parte ímpar de seguinte maneira:UI(ω)=Im{U(ω)} u[n]
Tomando o DTFT de dá(4)
onde eu usei . Eq. pode ser escrito como(3) (5)
A conclusão correta de é (veja esta resposta para mais detalhes)(6)
Mas, como sabemos que deve ser uma função ímpar de (porque tem valor real), podemos concluir imediatamente que . Portanto, de e finalmente obtemosUI(ω) ω u[n] c=0 (3) (7)
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