Transformada de Fourier em tempo discreto da sequência de etapas da unidade

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Nos livros didáticos, sabemos que o DTFT de é dado poru[n]

(1)U(ω)=πδ(ω)+11ejω,πω<π

No entanto, eu não vi um livro didático de DSP que ao menos pretenda fornecer uma derivação mais ou menos sólida de (1) .

Proakis [1] deriva a metade direita do lado direito de (1) configurando z=ejω na transformação Z de u[n] e diz que é válido exceto ω=2πk (o que é correto). Ele então afirma que, no polo da transformação Z , temos que adicionar um impulso delta com uma área de π , mas isso parece mais uma receita para mim do que qualquer outra coisa.

Oppenheim e Schafer [2] mencionam neste contexto

Embora não seja completamente fácil de mostrar, essa sequência pode ser representada pela seguinte transformação de Fourier:

que é seguido por uma fórmula equivalente a . Infelizmente, eles não se deram ao trabalho de nos mostrar essa prova "não completamente direta".(1)

Um livro que eu realmente não conhecia, mas que encontrei ao procurar uma prova de é Introdução ao processamento de sinais digitais e design de filtros da BA Shenoi. Na página 138, há uma "derivação" de , mas infelizmente está errada. Eu fiz uma pergunta do "quebra-cabeça do DSP" para que as pessoas mostrassem o que há de errado com essa prova.]( 1 )(1)(1)

Então, minha pergunta é:

Alguém pode fornecer uma prova / derivação de que seja sólida ou mesmo rigorosa enquanto estiver acessível para engenheiros com inclinação matemática? Não importa se é apenas copiado de um livro. Eu acho que seria bom tê-lo neste site de qualquer maneira.(1)

Observe que, mesmo em math.SE, quase nada relevante pode ser encontrado: essa pergunta não tem respostas e uma tem duas respostas, uma das quais está errada (idêntica ao argumento de Shenoi) e a outra usa a "propriedade de acumulação" , com o qual eu ficaria feliz, mas é preciso provar essa propriedade, o que o leva de volta ao início (porque ambas as provas provam basicamente a mesma coisa).

Como nota final, criei algo como uma prova (bem, sou engenheiro) e também a publicarei como resposta daqui a alguns dias, mas ficaria feliz em coletar outras provas publicadas ou não publicadas simples e elegantes e, o mais importante, acessíveis aos engenheiros de DSP.

PS: Não duvido da validade de (1) , gostaria apenas de ver uma ou várias provas relativamente diretas.


[1] Proakis, JG e DG Manolakis, processamento de sinais digitais: princípios, algoritmos e aplicativos , 3.ª edição, seção 4.2.8

[2] Oppenheim, AV e RW Schafer, processamento de sinais em tempo discreto , 2ª edição, p. 54



Inspirado por um comentário de Marcus Müller, eu gostaria de mostrar que como é dado pela Eq. satisfaz a exigênciaU(ω)(1)

u[n]=u2[n]U(ω)=12π(UU)(ω)

Se é o DTFT de , entãou [ n ]U(ω)u[n]

V(ω)=11ejω

deve ser o DTFT de

v[n]=12sign[n]

(onde definimos ), porquesign[0]=1

V(ω)=U(ω)πδ(ω)u[n]12=12sign[n]

Então nós temos

12π(VV)(ω)(12sign[n])2=14

a partir do qual se segue

12π(VV)(ω)=DTFT{14}=π2δ(ω)

Com isso, obtemos

12π(UU)(ω)=12π[(πδ(ω)+V(ω))(πδ(ω)+V(ω))]=12π[π2δ(ω)+2πV(ω)+(VV)(ω)]=π2δ(ω)+V(ω)+π2δ(ω)=U(ω)q.e.d.
Matt L.
fonte
waaah. Não quebre meu mundo. A dúvida nessa fórmula introduz um reino de caos. Por exemplo, e, portanto, (com um prefator contínuo de definição de FT dependendo da constante ),c DTFT ( u 2 ) ( ω )u2(t)=u(t)c
DTFT(u2)(ω)=cU(ω)U(ω)=cπU(ω)+c1+ejωU(ω)=cπ(πδ(ω)+11ejω)+cπ1+ejω+c11+ejω11+ejω=cπ2δ(ω)+2cπ1+ejω+c11+ejω11+ejω=magic?U
Marcus Müller
@ MarcusMüller: Sem dúvida, essa fórmula está correta. A questão é exatamente como mostrá-lo de uma maneira que um engenheiro de mente simples possa entender. E funciona para o DTFT fornecido, não há problema. u2[n]=u[n]
Matt L.
Eu me considero muito simplório, e isso significa que me preocupo quando as coisas não parecem "seguras" quando não consigo ver como elas são derivadas.
Marcus Müller
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Vejo que o que você procura não é provar se a equação está correta ou não, mas sim derivar rigorosa e diretamente dos primeiros princípios e definição da DTFT. Então, sempre que alguém deseja fazer uma prova rigorosa envolvendo impulsos , acho que devemos nos referir melhor aos livros citados da teoria da função generalizada: Lighthill-1958 é citado na Opp & Schafer para uma discussão sobre a função de impulso e seu uso nas transformadas de Fourier. Todas as outras provas dependerão inevitavelmente das provas feitas nessas referências e serão insuficientes para substituir uma prova rigorosa. U(w)
precisa saber é
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@ Fat32: Esse é um ponto de vista válido. Penso, no entanto, que uma derivação razoavelmente sólida é possível se aceitarmos transformações básicas como e se quisermos definir integrais por seu principal valor Cauchy. DTFT{1}=2πδ(ω)
Matt L.

Respostas:

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Cedron Dawg postou um interessante ponto inicial nesta resposta . Começa com estas etapas:

U(ω)=n=0+ejωn=limNn=0N1ejωn=limN[1ejωN1ejω]=11ejωlimN[ejωN1ejω]

Acontece que o termo dentro do limite pode ser expandido da seguinte maneira :

ejωN1ejω=1sin2(ω)+(1cos(ω))2[cos(ω)cos(Nω)+cos(Nω)sin(ω)sin(Nω)+j(sin(ω)cos(Nω)+cos(ω)sin(ω)sin(Nω))]

O fator comum fora dos colchetes pode ser expresso como :

1sin2(ω)+(1cos(ω))2=14sin2(ω/2)

A parte real dentro dos colchetes também é igual a :

cos(ω)cos(Nω)+cos(Nω)sin(ω)sin(Nω)=2sin(ω/2)sin[ω(N+1/2)]

Por outro lado, a parte imaginária pode ser reescrita como :

sin(ω)cos(Nω)+cos(ω)sin(ω)sin(Nω)=2sin(ω/2)cos[ω(N+1/2)]

Reescrevendo o termo original, obtemos o seguinte:

ejωN1ejω=2sin(ω2)4sin2(ω2)(sin[ω(N+1/2)]jcos[ω(N+1/2)])=sin[ω(M+1/2)]2sin(ω2)jcos[ω(M+1/2)]2sin(ω2)

onde usei e o limite também não é afetado como .M=N1M

De acordo com a 7ª definição neste site :

limM12sin(ω/2)sin[ω(M+1/2)]=πδ(ω)

Até agora, temos que:

limMejω(M+1)1ejω=πδ(ω)jlimMcos[ω(M+1/2)]2sin(ω/2)

Se pudéssemos provar que o segundo termo à direita da igualdade é em algum sentido, então terminamos. I pediu que a math.SE e, de facto, que a sequência de funções tende para a distribuição de zero. Então, nós temos isso:0

U(ω)=11ejωlimN[ejωN1ejω]=11ejω+πδ(ω)+jlimMcos[ω(M+1/2)]2sin(ω/2)=11ejω+πδ(ω)
Tendero
fonte
Isso é muito legal! Eu verifiquei e tudo parece estar correto, de modo que a parte imaginária deve tender a zero em algum sentido. Vou pensar um pouco.
Matt L.
@MattL. Deixe-me saber se você é capaz de fazer algum progresso!
Tendero
@MattL. A prova está finalmente completa!
Tendero 23/01
Bom trabalho! Eu tinha descoberto que o termo cosseno tenderia a zero devido ao lema de Riemann-Lebesgue, mas meu problema era o caso . Como a primeira fórmula é baseada na soma geométrica, que é válida apenas para . De alguma forma, tudo funciona, mas ainda é uma falha menor. Eu tenho outra derivação que não divide o termo , no qual o caso é tratado com um pouco mais de cuidado, mas ainda é uma "prova do engenheiro" . Eu posso postar quando tiver mais tempo. ω=0ω01/(1ejω)ω=0
Matt L.
2

Fornecerei duas provas relativamente simples que não exigem nenhum conhecimento da teoria da distribuição. Para uma prova que calcula a DTFT por um processo de limite usando resultados da teoria da distribuição, veja esta resposta de Tendero .

Vou mencionar apenas (e não elaborar) a primeira prova aqui, porque eu a publiquei como resposta a esta pergunta , cujo objetivo era mostrar que uma determinada prova publicada está com defeito.

A outra prova é a seguinte. Vamos primeiro escrever a parte par da sequência de etapas da unidade :u[n]

(1)ue[n]=12(u[n]+u[n])=12+12δ[n]

O DTFT de é(1)

(2)DTFT{ue[n]}=πδ(ω)+12

que é igual à parte real do DTFT de :u[n]

(3)UR(ω)=Re{U(ω)}=πδ(ω)+12

Como é uma sequência com valor real, terminamos porque as partes reais e imaginárias de estão relacionadas via transformada Hilbert e, consequentemente, determina exclusivamente . No entanto, na maioria dos textos de DSP, essas relações de transformação de Hilbert são derivadas da equação (que é válida para qualquer sequência causal ), da qual se segue que . Então, para mostrar a relação da transformação de Hilbert entre as partes reais e imaginárias da DTFT, precisamos da DTFT deu[n]U(ω)UR(ω)U(ω)h[n]=h[n]u[n]h[n]H(ω)=12π(HU)(ω)u[n], que realmente queremos derivar aqui. Então a prova se torna circular. É por isso que escolheremos uma maneira diferente de derivar a parte imaginária de .U(ω)

Para derivar , escrevemos a parte ímpar de seguinte maneira:UI(ω)=Im{U(ω)}u[n]

(4)uo[n]=12(u[n]u[n])=u[n1]12+12δ[n]

Tomando o DTFT de dá(4)

jUI(ω)=ejωU(ω)πδ(ω)+12=ejω(UR(ω)+jUI(ω))πδ(ω)+12=ejω(πδ(ω)+12)+ejωjUI(ω)πδ(ω)+12(5)=12(1+ejω)+ejωjUI(ω)

onde eu usei . Eq. pode ser escrito como(3)(5)

(6)jUI(ω)(1ejω)=12(1+ejω)

A conclusão correta de é (veja esta resposta para mais detalhes)(6)

(7)jUI(ω)=121+ejω1ejω+cδ(ω)

Mas, como sabemos que deve ser uma função ímpar de (porque tem valor real), podemos concluir imediatamente que . Portanto, de e finalmente obtemosUI(ω)ωu[n]c=0(3)(7)

U(ω)=UR(ω)+jUI(ω)=πδ(ω)+12+121+ejω1ejω=πδ(ω)+12(1+1+ejω1ejω)(8)=πδ(ω)+11ejω
Matt L.
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