Por favor, ajude-me a entender a suavização dos dados. Este é um acompanhamento da minha pergunta anterior postada aqui . Especialmente a principal resposta de Junuxx, onde ele diz que uma maneira de suavizar uma função é:
aqui podemos ver isso para todos os pontos , estamos usando uma média ponderada desse ponto e de seus dois pontos adjacentes, para obter uma versão otimizada de chamado .
Um artigo sobre aprimoramento da fala explica que uma equação da forma
nos ajuda a obter o valor de y como uma suavização recursiva de x. Aqui atua como um parâmetro de suavização e é calculado como
Onde é calculado em outro lugar e alfa é uma constante. , e são todas matrizes com elementos.
Como posso relacionar essa equação de com a equação de ? Ambos são para suavizar dados, porém a equação para contém a média ponderada de pontos consecutivos na matriz para enquanto a equação para não contém pontos de dados consecutivos para . Como podemos entender essa equação como uma suavização de dados em?
Se essa pergunta não for relevante quando as equações forem tiradas de contexto, terei o maior prazer em fornecer mais detalhes.
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Respostas:
A primeira equação que você fornece é a equação da diferença para um filtro FIR passa- baixo ou um filtro linear com uma resposta de impulso com duração finita. Escreverei um pouco diferente (para que seja expressamente discreto no tempo e causal ):
Como se vê, não é um filtro passa-baixo muito bom. Como o nome indica, um filtro passa-baixo deve transmitir conteúdo de baixa frequência enquanto remove frequências mais altas. Isso fornece a ação de "suavização" que você procura, pois os recursos não suaves "irregulares" são associados a altas frequências, pois mudam rapidamente com o tempo.
Sua segunda equação é um exemplo de filtro IIR passa- baixo , um filtro linear cuja resposta ao impulso é infinita em duração. A equação da diferença do filtro é:
Ondex [ n ] é a entrada do filtro e y[ n ] é a saída do filtro. Esse tipo de filtro é frequentemente usado como filtro passa-baixa de baixa complexidade e é frequentemente chamado de integrador com vazamento . É favorecido por sua implementação simples, baixa complexidade computacional e sua sintonização: sua frequência de corte depende do valor deα . α pode assumir valores no intervalo [ 0 , 1 ) . α = 0 não produz nenhuma filtragem (a saída é igual à entrada); Comoα aumenta, a frequência de corte do filtro diminui. Você pode pensar emα = 1 como um caso limite onde a frequência de corte é infinitamente baixa (a saída do filtro é zero para todo o tempo).
Como exemplo, seα = 0,8 , a resposta de frequência do filtro é a seguinte:
qual é um filtro melhor que o seu exemplo FIR; produz uma atenuação de frequências muito melhor na extremidade superior da banda. Mesmo que não seja óbvio olhando para a equação da diferença (devido ao feedback da saída do filtro de volta à sua entrada), ele efetivamente suaviza a entrada devido à sua natureza de passa-baixo. Não tenho certeza se essa descrição será particularmente significativa para você no seu aplicativo, mas esses são conceitos de processamento de sinal bastante fundamentais; algum estudo de textos introdutórios de DSP poderia ajudar a preencher as lacunas.
Edit: Por solicitação, aqui está um gráfico que mostra as duas respostas nos mesmos eixos, ilustrando a atenuação relativamente fraca fornecida pelo filtro de exemplo FIR:
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