Acontece que convolução e correlação estão intimamente relacionadas. Para sinais reais (e sinais de energia finita):
Convolução: y[n]≜h[n]∗x[n]=∑m=−∞∞h[n−m]x[m]
Correlação: Ryx[n]≜∑m=−∞∞y[n+m]x[m]=y[−n]∗x[m]
Agora, em espaços métricos, gostamos de usar esta notação:
Rxy[n]≜⟨x[m],y[n+m]⟩=∑m=−∞∞x[m]y[n+m]
o ⟨x,y⟩é o produto interno dos vetoresx e y Onde x={x[n]} e y={y[n]}. Também gostamos de definir a norma de um vetor como
∥x∥≜⟨x,x⟩−−−−−√=∑m=−∞∞x[m]x[m]−−−−−−−−−−−−√=∑m=−∞∞x2[m]−−−−−−−−−√
e isso se parece muito com o comprimento euclidiano de um vetor com um número infinito de dimensões. Tudo isso funciona muito bem para o caso em que os elementosx[n] do vetor xsão todos reais. A norma∥x∥ é sempre real e não negativo.
Portanto, se generalizarmos e permitirmos os elementos de x valor complexo, se a mesma definição de norma for usada,
∥x∥≜⟨x,x⟩−−−−−√
então a definição do produto interno precisa ser modificada um pouco:
⟨x,y⟩=∑m=−∞∞x[m]y∗[m]
Então se x possui elementos de valor complexo, a norma aparece como:
∥x∥≜⟨x,x⟩−−−−−√=∑m=−∞∞x[m]x∗[m]−−−−−−−−−−−−−√=∑m=−∞∞∣∣x[m]∣∣2−−−−−−−−−−√
Então, evidentemente, Haykin está apenas retornando a definição de produto interno à definição de convolução.