Como funciona a “região de convergência” da transformação

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Sou iniciante no DSP e tenho poucas dúvidas sobre a transformação Z e sua região de convergência (ROC).

Eu sei o que é uma transformação ZMas estou tendo problemas para entender o ROC. Antes de tudo, tenho alguma confusão com X(z) e x(z) . Eu sou pego facilmente trocando esses termos. Eu sei que o ROC define a região de onde a transformação Z existe. Na web e em meus livros, afirma que:

Se x[n] for uma sequência de duração finita, o ROC é o plano z inteiro, exceto possivelmente z=0 ou |z|= . Uma sequência de duração finita é uma sequência diferente de zero em um intervalo finito n1nn2

E depois diz:

Quando n2>0 , haverá um termo z1 e, portanto, o ROC não incluirá z=0 . Quando n1<0 , a soma será infinita e, portanto, o ROC não incluirá |z|= .

É aqui que eu fico preso! O que eles tentam dizer na linha acima " Quando haverá um termo z - 1 e, portanto, o ROC não incluirá z = 0n2>0z1z=0 " O que eles significam com ? Eles estão substituindo z como 0 , se sim, em qual equação?z=0z0

Como calculamos a região de convergência para uma sequência infinita?

Formigas
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Vai ser bom para obter um par de perspectivas diferentes sobre isso ...
Matt M.

Respostas:

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Para ser completamente honesto, pensei que a teoria por trás da transformação Z também era meio opaca na faculdade. Em retrospectiva, fazer um curso de análise complexa teria tornado mais claro. E eu também não gosto das convenções notacionais que parecem ser usadas para essas coisas. A rigor, a convenção usual aqui é que

  • indica uma sequência de tempo discreto x[n]
    • nZ
    • os colchetes denotam um argumento discreto
  • denota uma função transformada de valor contínuo X(z)
    • (é um número complexo)zC
    • os parênteses indicam uma função que aceita um parâmetro de valor contínuo
    • XxF(jω)f(t)

O que eles querem dizer com z = 0? Eles estão substituindo z como 0, se sim, em qual equação?

z=0

X(z)=n=x[n]zn

x[n]0n0zx[0]=1,x[1]=1x[n]=0n<0n>1X(z)=1+z1z=0limz0X(z)=

Quando seu texto diz " Quando , haverá um termo e, portanto, o ROC não incluiráz - 1 z = 0n2>0z1z=0 ", o que eles querem dizer com isso é, quando é diferente de zero para alguns , é inevitável que a transformação z inclua um termo , que diverge para o infinito em . Isso é tudo.n>0 z - n z=0x[n]n>0znz=0

Como calculamos a região de convergência para uma sequência infinita?

Muita matemática. Ha!

srsly, a maneira como isso é feito é obter uma formulação algébrica para a sequência em questão, conectá-la à definição de transformação Z e usar as ferramentas disponíveis na análise de séries geométricas (e séries de potências complexas) para determinar onde esse Z -Transform converge / diverge. Na prática, determinar se converge é a pergunta mais importante a ser respondida, porque isso determina estabilidade e se você pode ou não obter uma resposta de frequência do sistema etc. Mas a causalidade também pode ser importante, dependendo do que você está fazendo.|z|=1

rtollert
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o que você quer dizer com? The ROC does not includes z=0, for limz→0X(z)=∞Como z ^ -0 não apareceu em X (z), é isso que a afirmação diz?
Ant
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@ Ant (acho que o que o OP está perguntando é exatamente o que é 'z'?) Então, basicamente, Ant, AFAIK, . Basicamente, a transformação z é análoga à transformação discreta de fourier. (DFT). Para muitas análises de controle em que eles desejam analisar a estabilidade, eles geralmente substituem esse exponencial complexo por 'z' para facilitar o trabalho. z=e(j2πffs)
Spacey