Como derivar a distribuição Poisson da distribuição gama?

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Deixe- T1,T2, estar sequência iid de variáveis aleatórias exponencial com parâmetro λ . A soma Sn=T1+T2++Tn é uma distribuição Gama. Agora, como eu entendo, a distribuição de Poisson é definida por Nt seguinte maneira:

Nt=max{k:Skt}

Como formalmente mostro que é uma variável aleatória de Poisson?Nt

Todas as sugestões apreciadas. Tentei elaborar várias provas, mas não consigo chegar à equação final.

Referências

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

user862
fonte
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@ user862, as provas que conheço de antemão não são particularmente diretas. Durrett tem uma derivação em seu livro de probabilidades, que é bastante limpo. Leva 3-4 páginas, eu acho; o que, se você leu algum de seus livros, é uma longa prova para seus padrões. Resnick adota uma abordagem um pouco mais abstrata em seu texto de processos estocásticos. Construir e empunhar martelos maiores permite obter resultados mais gerais. Ross, sem dúvida, tem um tratamento em seu livro de processos estocásticos, mas eu não estou tão familiarizado com isso.
cardeal
Encontrou a prova no livro de Durrett. É explicado com muita clareza. Obrigado pelas indicações.
User862

Respostas:

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Tenho certeza de que a prova de Durrett é boa. Uma solução direta para a pergunta feita é a seguinte.

Paran1

P(Nt=n)=0tP(Sn+1>tSn=s)P(Snds)=0tP(Tn+1>ts)P(Snds)=0teλ(ts)λnsn1eλs(n1)!ds=eλtλn(n1)!0tsn1ds=eλt(λt)nn!

Para , temos .n=0P(Nt=0)=P(T1>t)=eλt

Isso não prova que é um processo de Poisson, mais difícil, mas mostra que a distribuição marginal de é Poisson com a média .(Nt)t0Ntλt

NRH
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(+1) Apelar para densidades condicionais não é estritamente necessário aqui. Observe que e precisamos integrar apenas a densidade da junta na região . Como e são independentes, essa é uma tarefa simples. P(Nt=n)=P(Snt,Sn+1>t)=P(Snt,Sn+Tn+1>t)S n T n + 1{(sn,tn+1):0snt,tn+1>tsn}R2SnTn+1
cardeal
@ cardinal - e como a resposta da @ NRH não é direta? Na verdade, eu diria que é mais fácil, porque apenas uma integração é necessária.
probabilityislogic
@probabilityislogic: Minha referência "direta" foi apenas uma observação sobre o cálculo restante não mostrado no meu comentário. Não era um sentido relativo em relação à resposta da @ NRH.
cardeal
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@probabilityislogic: Existe muita teoria (adicional) escondida nas duas primeiras linhas da prova do @ NRH. O ponto do meu comentário foi que podemos obter o mesmo resultado usando apenas os ossos da barra das distribuições de probabilidade conjunta, ou seja, apenas a medida do produto. Esta é, na minha opinião, uma base fundamentalmente mais simples para o cálculo do que a introdução de expectativa condicional e a justificativa necessária para passar da linha um a dois da resposta da @ NRH. Não quero dizer que, de qualquer forma, como crítica, minha intenção era apenas fornecer um método alternativo.
cardeal