Integrando um CDF empírico

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Eu tenho uma distribuição empírica . Eu calculo da seguinte formaG(x)

    x <- seq(0, 1000, 0.1)
    g <- ecdf(var1)
    G <- g(x)

Denomino , ou seja, h é o pdf enquanto G é o cdf.h(x)=dG/dxhG

Agora, quero resolver uma equação para o limite superior de integração (digamos ), de modo que o valor esperado de x seja algum k .axk

Ou seja, a integração de para b , I deve ter x h ( x ) d x = k . Eu quero resolver para b .0bxh(x)dx=kb

Integrando por partes, posso reescrever a equação como

, onde a integral é de 0 a b ------- (1)bG(b)0bG(x)dx=k0b

Eu acho que posso calcular a integral da seguinte forma

    intgrl <- function(b) {
        z <- seq(0, b, 0.01)
        G <- g(z)
        return(mean(G))
     }

Mas quando tento usar esta função com

    library(rootSolve)
    root <- uniroot.All(fun, c(0, 1000))

onde diversão é a eq (1), recebo o seguinte erro

    Error in seq.default(0, b, by = 0.01) : 'to' must be of length 1  

Acho que o problema é que minha função intgrlé avaliada em um valor numérico, enquanto uniroot.Allpassa o intervaloc(0,1000)

Como devo resolver para b nesta situação em R?

user46768
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Respostas:

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x1x2xnGxiγkxiγt1xiγ[α,β]γGk/nγ(k+t)/nγ

ECDF

0bxh(x)dx[α,β]ht/nγ[α,β]

αβxh(x)dx=(xG(x))|αβαβG(x)dx=(βG(β)αG(α))αβG(x)dx.

γG

αβG(x)dx=αγG(α)dx+γβG(β)dx=(γα)G(α)+(βγ)G(β).

G(α)=k/n,G(β)=(k+t)/n

αβxh(x)dx=(βG(β)αG(α))((γα)G(α)+(βγ)G(β))=γtn.

X

tn=1n++1n

γG

0bxh(x)dx=i:0xib(xi1n)=1nxibxi.

1/n[0,b]1/n1/mm[0,b]

kb1nxibxi=k.kj

1ni=1j1xik<1ni=1jxi,

b[xj1,xj)b


Rexecuta o cálculo da soma parcial com cumsume encontra onde cruza qualquer valor especificado usando a whichfamília de pesquisas, como em:

set.seed(17)
k <- 0.1
var1 <- round(rgamma(10, 1), 2)
x <- sort(var1)
x.partial <- cumsum(x) / length(x)
i <- which.max(x.partial > k)
cat("Upper limit lies between", x[i-1], "and", x[i])

A saída neste exemplo de dados extraídos de uma distribuição exponencial é

O limite superior situa-se entre 0,39 e 0,57

0.1=0bxexp(x)dx,0.531812

G

Figure of ECDF

whuber
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Esta é uma resposta muito clara e útil, então obrigado!
user46768