Teoria de valores extremos: parâmetros lognormal de GEV

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A distribuição Lognormal pertence ao domínio máximo de atração de Gumbel , onde:

FlogN(x;μ,σ)=Φ(lnxμσ),

FGum(x;μ,β)=eexp(xμβ)

Minha pergunta : Temos e ?μ=μσ=β

A distribuição Generalized Extreme Value também usa a notação (Gumbel é o caso limite ), e comparar os CDFs para Standard-Lognormal e Standard-Gumbel implicaria novamente que os parâmetros coincidissem. Mas não tenho certeza disso, porque Gumbel é um caso limitante do Lognormal Maxima, portanto pode haver alguma transformação dos parâmetros também.β=σξ=0

emcor
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Respostas:

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Deixe Xii.i.dLNorm(μ,σ)logXiμσMn:=max1inXian>0bn

(1)MnbnanGum(0,1)

onde denota a distribuição Gumbel com localização e scale . Isso significa que para todos os .Gum(ν,β)νβFMn(anx+bn)FGum(x;0,1)x

Obviamente, as duas seqüências e dependem de e ; portanto, podem ser indicadas como e . Por exemplo, se é substituído por , a distribuição de é substituída pela de e a distribuição de é substituída pela de , o que implica que e devem ser substituídos por e para manter o mesmo limite. Da mesma forma, se substituirmosanbnμσan(μ,σ)bn(μ,σ)μμ+1XieXiMneMnanbneanebnμpor com inalterado, deve ser substituído por e, em seguida, e devem ser substituídos por e .0σXieμXianbneμaneμbn

A causa pode ser formulado como: se utilizar as sequências de e no lado da mão esquerda da (1) - em vez do devido e - obtemos no lado direito? A resposta é então não, porque os parâmetros do Gumbel são de fato parâmetros de localização e escala, embora isso não seja verdade para o log-normal. O parâmetro do log-normal afeta a cauda, ​​como pode ser visto pelo fato de que o coeficiente de variação aumenta com . Enquanto sempre permanece no domínio de atração Gumbel, as seqüênciasan(0,1)bn(0,1)an(μ,σ)bn(μ,σ)Gum(μ,σ)σσLNorm(μ,σ)ane deve tender a mais rapidamente à medida que aumenta. Pode-se provar que (1) podemos usar as seqüências e modo que consulte Embrechts P., Klüppelberg C. e Mikosch T., tabela 3.4.4 pp 155 -157 Se usarmos as seqüências e com errado , não obteremos um limite não degenerado para o lado esquerdo de (1), porque as taxas de crescimento de e são inadequadas para o final debnσanbn

bn(μ,σ)=eμbn(0,1)σ,an(μ,σ)=σ(2logn)1/2bn(μ,σ),
anbnσanbnXi .

Yves
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