Deixe Xi∼i.i.dLNorm(μ,σ)logXiμσMn:=max1⩽i⩽nXian>0bn
Mn−bnan→Gum(0,1)(1)
onde denota a distribuição Gumbel com localização e scale . Isso significa que
para todos os .Gum(ν,β)νβFMn(anx+bn)→FGum(x;0,1)x
Obviamente, as duas seqüências e dependem de e
; portanto, podem ser indicadas como e
. Por exemplo, se é substituído por
, a distribuição de é substituída pela de e a distribuição de é substituída pela de , o que implica que
e devem ser substituídos por e para manter o mesmo limite. Da mesma forma, se substituirmosanbnμσan(μ,σ)bn(μ,σ)μμ+1XieXiMneMnanbneanebnμpor com
inalterado, deve ser substituído por e, em seguida,
e devem ser substituídos por e .0σXie−μXianbne−μane−μbn
A causa pode ser formulado como: se utilizar as sequências de
e no lado da mão esquerda da (1) - em vez do devido
e - obtemos
no lado direito? A resposta é então não, porque os parâmetros do Gumbel são de fato parâmetros de localização e escala, embora isso não seja verdade para o log-normal. O parâmetro
do log-normal afeta a cauda, como pode ser visto pelo fato de que o coeficiente de variação aumenta com . Enquanto
sempre permanece no domínio de atração Gumbel, as seqüênciasan(0,1)bn(0,1)an(μ,σ)bn(μ,σ)Gum(μ,σ)σσLNorm(μ,σ)ane deve tender a mais rapidamente à medida que aumenta. Pode-se provar que (1) podemos usar as seqüências e modo que consulte Embrechts P., Klüppelberg C. e Mikosch T., tabela 3.4.4 pp 155 -157 Se usarmos as seqüências e com errado , não obteremos um limite não degenerado para o lado esquerdo de (1), porque as taxas de crescimento de e são inadequadas para o final debn∞σanbnbn(μ,σ)=eμbn(0,1)σ,an(μ,σ)=σ(2logn)−1/2bn(μ,σ),
anbnσanbnXi .