Qual é a distribuição da razão de duas variáveis ​​aleatórias de Poisson?

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Eu tenho uma pergunta sobre variáveis ​​aleatórias. Vamos supor que temos duas variáveis aleatórias e . Digamos que seja Poisson distribuído com o parâmetro e seja Poisson distribuído com o parâmetro .Y X λ 1 Y λ 2XYXλ1Yλ2

Quando você constrói a fratura a partir de e a chama de variável aleatória , como isso é distribuído e qual é a média? É ?Z λ 1 / λ 2X/YZλ1/λ2

MarkDollar
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Por acaso, deparei-me com isso ao procurar referências. A inferência para a razão de Poisson é bastante direta, tanto para os freqüentadores ( Nelson, 1970, "Intervalos de confiança para a razão de dois meios de Poisson quanto para os intervalos de predição de Poisson" ) e para os bayesianos (Lindley, 1965). Também não há problema com denominadores zero!
Frank Tuyl
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O questionador original, e outros, podem estar interessados ​​em observar que tem valor esperado ( λ 1 / λ 2 ) ( 1 - e - λ 2 ) . Dependendo da sua aplicação pode ser mais útil do que X / Y . Para mais detalhes, veja meu artigo no Journal of Analytical Atomic Spectrometry, 28 , 52, chamado "Desvio estatístico nas razões isotópicas" com DOI: 10.1039 / C2JA10205F. X/(Y+1)(λ1/λ2)(1eλ2)X/Y
Este é um problema frequentemente encontrado na astronomia. A solução bayesiana foi elaborada por Park et al. (2006, Astrophysical Journal, v652, 610-628, Estimação Bayesiana de Razões de Dureza: Modelagem e Computações ). Eles incluem contaminação de fundo em seu tratamento.
User78543 31/01
Pelo resumo, não é óbvio que eles estejam lidando com a questão do OP. Como este artigo se relaciona com a distribuição da razão de duas variáveis ​​aleatórias de Poisson?
315 Andy

Respostas:

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Eu acho que você vai ter um problema com isso. Como a variável Y terá zero, X / Y terá alguns valores indefinidos, para que você não obtenha uma distribuição.

bill_080
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+1 Isso mesmo. Mas (para evitar possíveis confusões) o problema não é apenas que pode ser igual a 0 : é que ele pode ser igual a 0 com probabilidade positiva. (Por exemplo, um quociente de normais tem uma distribuição mesmo que o denominador possa ser igual a 0. ) Assim, X / Y é indefinido com probabilidade positiva, tornando sua média (e qualquer outro momento) indefinida também. Y00 0X/Y
whuber
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+1, mas na literatura sobre taxas de falsas descobertas, as pessoas não têm problemas com que X é o verdadeiro positivo e Y é o número total de positivos :-). É sempre compreendida, por convenção, que 0 fora de 0 é igual a 0.X/YXY
NRH
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@ Mark: Provavelmente é melhor fazer isso como uma nova pergunta e ser bem específico sobre o que você está tentando alcançar.
Bill_080 18/05
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@NRH No seu caso há uma forte dependência de em Y . Isso muda completamente as coisas, porque agora a probabilidade de uma proporção positiva: zero é nula. XY
whuber
1
@ Whuber, claro que está certo. Obrigado por apontar isso. Eu estava pensando que talvez houvesse alguma convenção não declarada para tornar o problema significativo. Mas a partir do comentário de @ MarkDollar acima, parece que esse não era o caso, para começar.
NRH
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Ao perceber que a proporção não é de fato um conjunto mensurável bem definido, redefinimos a proporção como um conjunto mensurável adequadamente onde a soma segue desde quer>0, eXeYsão variáveis ​​independentes de Poisson. A densidade segue o teorema de Radon-Nykodym.

P[XYr]:=P[XrY]=y=0x=0ryλ2yy!eλ2λ1xx!eλ1
r>0XY
Aaron Sheldon
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Suponha que venha de uma distribuição de Poisson com truncamento zero. A resposta seria então:Y
Brash Equilibrium