O desvio padrão é tão aplicável aqui como em qualquer outro lugar: fornece informações úteis sobre a dispersão dos dados. Em particular, o sd dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra é um erro padrão: estima a dispersão da distribuição amostral da média. Vamos calcular:
3.2%/10000−−−−−√=0.032%=0.00032.
É pequeno - muito menor que a precisão você procura.±0.50%
Embora os dados não sejam normalmente distribuídos, a média da amostra é extremamente próxima de Normalmente distribuída porque o tamanho da amostra é muito grande. Aqui, por exemplo, está um histograma de uma amostra com as mesmas características que a sua e, à direita, o histograma da média de mil amostras adicionais da mesma população.
Parece muito próximo do normal, não é?
Portanto, embora pareça que você está inicializando corretamente, não é necessário: um intervalo de confiança simétrico de para a média é obtido, como sempre, multiplicando o erro padrão por um percentil apropriado da distribuição normal padrão (para wit, ) e movendo-se que a distância de cada lado da média. No seu caso, , portanto o intervalo de confiança de é100−α%Z1−α/200Z1−α/200=2.575899%
(0.977−2.5758(0.032)/10000−−−−−√, 0.977+2.5758(0.032)/10000−−−−−√)=(97.62%,97.78%).
Um tamanho de amostra suficiente pode ser encontrado invertendo esse relacionamento para resolver o tamanho da amostra. Aqui nos diz que você precisa de um tamanho de amostra em torno de
(3.2%/(0.5%/Z1−α/200))2≈272.
Isso é pequeno o suficiente para que possamos verificar novamente a conclusão de que a distribuição amostral da média é Normal. Tirei uma amostra de da minha população e iniciei sua média (para iterações):2729999
Com certeza, parece normal. De fato, o intervalo de confiança de inicialização é quase idêntico ao IC da teoria normal de .( 97,19 % , 98,24 % )(97.16%,98.21%)(97.19%,98.24%)
Como esses exemplos mostram, o tamanho absoluto da amostra determina a precisão das estimativas, e não a proporção do tamanho da população. (Um exemplo extremo, porém intuitivo, é que uma única gota de água do mar pode fornecer uma estimativa precisa da concentração de sal no oceano, mesmo que essa gota seja uma fração muito pequena de toda a água do mar.) Para os fins declarados, obtenha uma amostra de (que exige mais de vezes mais trabalho do que uma amostra de ) é um exagero.36 2721000036272
R
código para executar essas análises e plotar esses gráficos a seguir. Amostra de uma população com distribuição Beta com média de e DP de .0,0320.9770.032
set.seed(17)
#
# Study a sample of 10,000.
#
Sample <- rbeta(10^4, 20.4626, 0.4817)
hist(Sample)
hist(replicate(10^3, mean(rbeta(10^4, 20.4626, 0.4817))),xlab="%",main="1000 Sample Means")
#
# Analyze a sample designed to achieve a CI of width 1%.
#
(n.sample <- ceiling((0.032 / (0.005 / qnorm(1-0.005)))^2))
Sample <- rbeta(n.sample, 20.4626, 0.4817)
cat(round(mean(Sample), 3), round(sd(Sample), 3)) # Sample statistics
se.mean <- sd(Sample) / sqrt(length(Sample)) # Standard error of the mean
cat("CL: ", round(mean(Sample) + qnorm(0.005)*c(1,-1)*se.mean, 5)) # Normal CI
#
# Compare the bootstrapped CI of this sample.
#
Bootstrapped.means <- replicate(9999, mean(sample(Sample, length(Sample), replace=TRUE)))
hist(Bootstrapped.means)
cat("Bootstrap CL:", round(quantile(Bootstrapped.means, c(0.005, 1-0.005)), 5))