Qual é a intuição por trás da independência de e , ?

Eu esperava que alguém pudesse propor um argumento explicando por que as variáveis ​​aleatórias e , com a distribuição normal padrão, são estatisticamente independentes. A prova desse fato decorre facilmente da técnica MGF, mas acho extremamente contra-intuitiva.$Y_1=X_2-X_1$$Y_2=X_1+X_2$$X_i$

Eu apreciaria, portanto, a intuição aqui, se houver.

Agradeço antecipadamente.

EDIT : Os subscritos não indicam estatísticas da ordem, mas observações do IDI da distribuição normal padrão.

Estes são dados distribuídos normais padrão: Observe que a distribuição é circularmente simétrica.

Ao alternar para e , você efetivamente gira e dimensiona o eixo, da seguinte maneira: Este novo sistema de coordenadas tem a mesma origem que o original e o eixo é ortogonal. Devido à simetria circular, as variáveis ​​ainda são independentes no novo sistema de coordenadas.$Y_1 = X_2 - X_1$$Y_2 = X_1 + X_2$

O resultado funciona para conjunto normal (ou seja, com correlação, ), com comum .$(X_1,X_2)$$-1<\rho<1$$\sigma$

Se você conhece alguns resultados básicos, é tudo o que precisa:

$\quad\quad\quad$

a abordagem de dobiwan é essencialmente boa - é apenas que o resultado é mais geral do que o caso tratado lá.

O resultado que você afirma ser verdadeiro geralmente não é verdadeiro, nem mesmo no caso em que tudo que se sabe é que e são variáveis ​​aleatórias normais com variação idêntica, mas o resultado é válido para a interpretação usual da condição que você declarou mais tarde:$X_1$$X_2$

Os subscritos não indicam Estatísticas da ordem, mas observações da distribuição normal padrão.

A interpretação usual das últimas palavras nesta declaração é, obviamente, que e são variáveis ​​aleatórias independentes (normais) e, portanto, variáveis ​​aleatórias comuns em conjunto .$X_1$$X_2$

Para variáveis ​​aleatórias normais comuns com variância idêntica, é verdade que e são variáveis ​​aleatórias independentes (normais) (com variações gerais desiguais) e a explicação intuitiva para isso é melhor dada na resposta de Glen_b. Para o seu caso especial de e serem independentes, a resposta de dobiwan, que você aceitou, é mais simples e, de fato, revela que qualquer rotação dos eixos, não apenas pelo implícita na transformação , produzirá variáveis ​​aleatórias independentes.$X_1+X_2$$X_1-X_2$$X_1$$X_2$$\pm \frac{\pi}{4}$$(X_1,X_2)\to (X_1+X_2, X_1-X_2)$

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O que pode ser dito em geral? Em tudo o que digo abaixo, lembre-se de que e têm a mesma variação , independentemente de outras propriedades que possam ser atribuídas a elas.$X$$Y$

Se e são quaisquer variáveis aleatórias (Nota: Não necessariamente, normais) com variância idênticos, então e são não correlacionadas variáveis aleatórias (ou seja, eles têm covariância zero). Isso ocorre porque a função de covariância é bilinear : Aqui usamos o fato de que é apenas a variação$X$$Y$$X+Y$$X-Y$

$$\begin{align} \operatorname{cov}(X+Y, X-Y) &= \operatorname{cov}(X,X) - \operatorname{cov}(X,Y) + \operatorname{cov}(Y,X) - \operatorname{cov}(Y,Y)\\ &= \operatorname{var}(X) - \operatorname{cov}(X,Y) + \operatorname{cov}(X,Y) - \operatorname{var}(Y)\\ &= 0. \end{align}$$ $\operatorname{cov}(X,X)$$\operatorname{var}(X)$ de (e da mesma forma para ) e, é claro, . Observe que esse resultado é válido quando e são (marginalmente) variáveis ​​aleatórias normais, mas não necessariamente variáveis ​​aleatórias normais em conjunto . (Se você não está familiarizado com essa noção de normalidade marginal não ser a mesma que a normalidade das articulações, veja esta ótima resposta do cardeal). No caso especial, quando e são variáveis ​​aleatórias normais conjuntamente normais (mas não necessariamente independentes), o mesmo acontece com e$X$$Y$$\operatorname{cov}(Y,X) = \operatorname{cov}(X,Y)$$X$$Y$$X$$Y$$X+Y$$X-Y$conjuntamente normal e, como sua covariância é , e são variáveis ​​aleatórias independentes.$0$$X+Y$$X-Y$

$X_1,X_2$$Y_1$$Y_2$$0$$Y_1,Y_2$

A média condicional

$X_1+X_2=y$$X_1=x, X_2 = y-x$$X_1 = y-x, X_2=x$

$X_1$$X_2$$X_1+X_2$$X_1 \mid Y_2 = y$$X_2 \mid Y_2 = y$

$$\begin{equation} \mathbb{E}(Y_1 \mid Y_2 = y) = \mathbb{E}(X_1 - X_2 \mid X_1+X_2 = y) \\ = \mathbb{E}(X_1 \mid X_1+X_2 = y) - \mathbb{E}(X_2 \mid X_1+X_2 = y)= 0. \end{equation}$$

(Advertência: não considerei a possibilidade de a média condicional não existir.)

Média condicional constante implica zero correlação / covariância

$Y_1$$Y_2$$Y_2$$Y_1$$Y_1$$Y_2$

$$\begin{equation} Cov(Y_1,Y_2) = \mathbb{E}\left[\left(Y_1 - \mathbb{E}(Y_1)\right)\left(Y_2 -\mathbb{E}(Y_2) \right)\right] \end{equation}$$ $Y_2$ $$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\left(Y_1 - \mathbb{E}(Y_1)\right)\left(Y_2 -\mathbb{E}(Y_2) \right) \mid Y_2\right]\right] = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\mathbb{E}\left[Y_1 - \mathbb{E}(Y_1) \mid Y_2\right] \right]. \end{equation}$$ $Y_2$ $$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\mathbb{E}\left[Y_1-\mathbb{E}(Y_1)\right]\right] \end{equation}$$ $0$ $$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\times0\right] = 0. \end{equation}$$

Independência

$X_1,X_2$$Y_1$$Y_2$$X_1,X_2$$Y_1,Y_2$