Covariância de um vetor aleatório após uma transformação linear

20

Se é um vetor aleatório e é uma matriz fixa, alguém poderia explicar por queZA

cov[AZ]=Acov[Z]A.
user92612
fonte

Respostas:

26

Para um vetor aleatório (coluna) com vetor médio , a matriz de covariância é definida como . Portanto, a matriz de covariância de , cujo vetor médio é , é dada por m = E [ Z ] cov ( Z ) = E [ ( Z - m ) ( Z - m ) T ] A Z A m cov ( A Z )Zm=E[Z]cov(Z)=E[(Zm)(Zm)T]AZAm

cov(AZ)=E[(AZAm)(AZAm)T]=E[A(Zm)(Zm)TAT]=AE[(Zm)(Zm)T]AT=Acov(Z)AT.
Dilip Sarwate
fonte
1
Corrigi meu erro de digitação. Obrigado por apontar o meu erro.
user92612
4

ZUMAT

cov(ZUMAT)=UMAcov(Z)UMAT

cov(ZAT)=E[(ZATmAT)(ZATmAT)T]=E[(Zm)ATA(Zm)T]=E[A(Zm)(Zm)TAT]=AE[(Zm)(Zm)T]AT=Acov(Z)AT

ABTBAT=BAATBT

ABTBAT=((ABTBAT)T)T=(BATABT)T=B(BATA)T=BAATBT
Jan Kukacka
fonte