Para cada , a probabilidade ajustada do modelo saturado será a mesma que , zero ou um. Conforme explicado aqui, a probabilidade do modelo saturado é . Portanto, o desvio desse modelo será , em df. Aqui está um exemplo de R:yEuyEu1- 2 log( 1 / 1)=00 0
y = c(1,1,1,0,0,0)
a <- factor(1:length(y))
fit <- glm(y~a,family=binomial)
summary(fit)
Deviance Residuals:
0 0 0 0 0 0
Null deviance: 8.3178e+00 on 5 degrees of freedom
Residual deviance: 2.5720e-10 on 0 degrees of freedom
O modelo saturado sempre possui parâmetros, em que é o tamanho da amostra. É por isso que o desvio nulo está sempre ativado df, pois o modelo nulo tem apenas a interceptação. Por exemplo, se eu adicionar uma réplica para cada um dos seis níveis de fator, obterá o seguinte:nn( n - 1 )
> k2
[1] 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
Levels: 1 2 3 4 5 6
> y2
[1] 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0
> fit3 = glm(y2 ~ k2, family = binomial)
> summary(fit3)
Null deviance: 1.6636e+01 on 11 degrees of freedom
Residual deviance: 5.1440e-10 on 6 degrees of freedom
Na verdade, verifica-se que em R o que é o modelo saturado depende da forma de entrada, mesmo que os dados sejam exatamente os mesmos, o que não é muito bom. Em particular, no exemplo acima, existem 12 observações e 6 níveis de fatores; portanto, o modelo saturado deve ter 6 parâmetros, e não 12. Em geral, um modelo saturado é definido como aquele em que o número de parâmetros é igual ao número de parâmetros. padrões covariáveis distintos. Não faço ideia por que o código R "admitiu" que o fator k2 possui 6 níveis distintos e, no entanto, o modelo saturado foi equipado com 12 parâmetros.
Agora, se usarmos exatamente os mesmos dados no formato "binomial", obteremos uma resposta correta:
y_yes = 2 * c(1,1,1,0,0,0)
y_no = 2 * c(0,0,0,1,1,1)
x = factor(c(1:6))
> x
[1] 1 2 3 4 5 6
Levels: 1 2 3 4 5 6
> y_yes
[1] 2 2 2 0 0 0
> y_no
[1] 0 0 0 2 2 2
modelBinomialForm = glm(cbind(y_yes, y_no) ~ x, family=binomial)
Deviance Residuals:
[1] 0 0 0 0 0 0
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 2.490e+01 1.096e+05 0 1
x2 1.375e-08 1.550e+05 0 1
x3 1.355e-08 1.550e+05 0 1
x4 -4.980e+01 1.550e+05 0 1
x5 -4.980e+01 1.550e+05 0 1
x6 -4.980e+01 1.550e+05 0 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 1.6636e+01 on 5 degrees of freedom
Residual deviance: 3.6749e-10 on 0 degrees of freedom
Agora vemos que o modelo saturado possui 6 parâmetros e coincide com o modelo ajustado. Portanto, o desvio nulo está ativado (6 - 1) = 5 df, e o desvio residual está ativado (6-6) = 0 df.