Teste para distinguir dados periódicos de quase periódicos

Suponha que eu tenha alguma função desconhecida com domínio ℝ , que sei cumprir algumas condições razoáveis, como continuidade. Eu conheço os valores exatos de f (porque os dados provêm de uma simulação) em alguns pontos de amostragem equidistantes t_i = t_0 + iΔt com i∈ \ {1,…, n \} , que posso assumir que sejam suficientemente bons para capturar tudo aspectos relevantes de f , por exemplo, posso assumir que existe no máximo um extremo local de f entre dois pontos de amostragem. Estou procurando um teste que me diga se meus dados estão em conformidade com f sendo exatamente periódico, ou seja, ∃τ: f (t + τ) = f (t) \, ∀ \, t$f$$ℝ$$f$$t_i=t_0 + iΔt$$i∈\{1,…,n\}$$f$$f$$f$$∃τ: f(t+τ)=f(t) \,∀\,t$, com a duração do período sendo um tanto razoável, por exemplo, $Δt < τ < n·Δt$ (mas é concebível que eu possa criar restrições mais fortes, se necessário).

De outro ponto de vista, tenho dados ${x_0, …, x_n}$ e estou procurando um teste que responda à questão de saber se existe uma função periódica $f$ (cumprindo as condições acima) para que $f(t_i)=x_i ∀ i$ .

O ponto importante é que $f$ é pelo menos muito próximo da periodicidade (pode ser, por exemplo, $f(t) := \sin(g(t)·t)$ ou $f(t) := g(t)·\sin(t)$ com $g'(t) ≪ g(t_0)/Δt$ ) na medida em que a alteração de um ponto de dados por uma pequena quantidade possa ser suficiente para fazer com que os dados estejam em conformidade com $f$ sendo exatamente periódicos. Assim, ferramentas padrão para análise de frequência, como a transformada de Fourier ou a análise de cruzamentos zero, não ajudarão muito.

Observe que o teste que estou procurando provavelmente não será probabilístico.

Tenho algumas idéias de como projetar esse teste, mas quero evitar reinventar a roda. Então, eu estou procurando por um teste existente.

Como disse, tive uma idéia de como fazer isso, que percebi, refinei e escrevi um artigo, que agora é publicado: Chaos 25, 113106 (2015) - pré-impressão no ArXiv .

O critério investigado é quase o mesmo que esboçado na pergunta: dados amostrados nos pontos de tempo , o teste decide se existe uma função e a modo que:$x_1, \ldots, x_n$$t_0, t_0 + Δt, \ldots, t_0 + nΔt$$f: [t_0, t_0 + Δt] → ℝ$$τ ∈ [2Δt,(n-1)Δt]$

• $f(t_0 + iΔt)=x_i\quad \forall i∈\{1,…,n\}$
• $f(t+τ)=f(t) \quad∀t∈[t_0, t_0 + Δt-τ]$
• $f$ não tem mais extremos locais do que a sequência , com a possível exceção de no máximo um extremo próximo ao início e ao fim de cada.$x$$f$

O teste pode ser modificado para levar em conta pequenos erros, como erros numéricos do método de simulação.

^{Espero que meu trabalho também responda por que eu estava interessado em fazer esse teste.}

Transforme os dados no domínio da frequência usando a transformada de Fourier discreta (DFT). Se os dados forem perfeitamente periódicos, haverá exatamente um compartimento de frequência com um valor alto e outros compartimentos serão zero (ou próximo de zero, consulte vazamento espectral).

Observe que a resolução da frequência é dada por . Portanto, isso define o limite para a precisão da detecção.$\frac{\text{sampling frequency}}{\text{Number of samples}}$

Se você conhece o sinal periódico real, calcule

$\text{difference} = \Big|\text{theoretical data} - \text{measured data}\big|$

Em seguida, some os elementos de . Se estiver acima de um limite (considere o erro da aritmética de ponto flutuante), os dados não serão periódicos.$\text{difference}$