E se os resíduos forem normalmente distribuídos, mas y não?

Eu tenho uma pergunta estranha. Suponha que você tenha uma pequena amostra em que a variável dependente que você analisará com um modelo linear simples é altamente inclinada para a esquerda. Assim, você assume que não é normalmente distribuído, porque isso resultaria em y distribuído normalmente . Mas quando você calcula o gráfico QQ-Normal, há evidências de que os resíduos são normalmente distribuídos. Assim, qualquer um pode assumir que o termo do erro é normalmente distribuído, embora y não seja. Então, o que significa quando o termo de erro parece ser normalmente distribuído, mas y não?$u$$y$$y$$y$

$y \sim \mathcal{N}(\beta x, \sigma^2)$$\beta=1$$y$$x$$y$$x$$x$$x$$y$$x$$y$$x$

$Y$$X$

$\beta_0$$\beta_1$

$Y$

$Y$$Y$

$Y$$X$$p<.05$$\beta_1$

set.seed(123456789)                       # this make the simulation repeatable

b0 = 160;   b1 = -1;   b1_null = 0        # these are the true beta values
x  = rep(c(0, 20, 40), each=100)          # the (non-normal) drug dosages patients get

estimated.b1s  = vector(length=10000)     # these will store the simulation's results
estimated.b1ns = vector(length=10000)
null.p.values  = vector(length=10000)

for(i in 1:10000){
  residuals = rnorm(300, mean=0, sd=3)
  y.works = b0 + b1*x      + residuals
  y.null  = b0 + b1_null*x + residuals    # everything is identical except b1

  model.works = lm(y.works~x)
  model.null  = lm(y.null~x)
  estimated.b1s[i]  = coef(model.works)[2]
  estimated.b1ns[i] = coef(model.null)[2]
  null.p.values[i]  = summary(model.null)$coefficients[2,4]
}
mean(estimated.b1s)       # the sampling distributions are centered on the true values
[1] -1.000084                  
mean(estimated.b1ns)
[1] -8.43504e-05               
mean(null.p.values<.05)   # when the null is true, p<.05 5% of the time
[1] 0.0532                   

Esses resultados mostram que tudo funciona bem.

$X$ $Y$$X$

$X$$Y$$X$