Por que os preços das ações são normais, mas o retorno das ações é normal

Exceto pelo fato de que os retornos podem ser negativos, enquanto os preços devem ser positivos, existe alguma outra razão por trás da modelagem dos preços das ações como uma distribuição normal de log, mas da modelagem dos retornos das ações como uma distribuição normal?

Alguns pontos para começar:

i) essas convenções distributivas são, na melhor das hipóteses, aproximações. Eles podem ser modelos convenientes, mas não devemos confundir isso com a distribuição real dos preços ou retornos das ações.

$y_t$$t$$y_t/y_{t-1} \, \dot{\sim}\, \log N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$y_t \, \dot{\sim}\, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

$x$$\log(1+x)\approx x$

$\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

$\log(y_t)-\log(y_{t-1})=\log(\frac{y_t}{y_{t-1}})\approx \frac{y_t}{y_{t-1}}-1=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Ou seja, o retorno é aproximadamente a alteração no preço das ações de log (tente com preços de ações reais e veja se são quase idênticos).

Então se

$$y_t \, \dot{\sim} \, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

que implica

$$\log(y_t) \, \dot{\sim} \, N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

então

$$\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\approx \log(y_t)-\log(y_{t-1})\,\dot{\sim}\,N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$