Uma série temporal é igual a um processo estocástico?

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Um processo estocástico é um processo que evolui com o tempo, então é realmente uma maneira mais extravagante de dizer "séries temporais"?

Vencedor
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Uma série temporal é um processo estocástico com um suporte de observação em tempo discreto. Um processo estocástico pode ser observado em tempo contínuo. (Também pode ser que as séries são mais relacionada com as observações e processos estocásticos com o objecto atrás aleatório.)
Xian
"Série" implica natureza discreta ou finita, em oposição à natureza potencialmente contínua do "processo".
Aksakal
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Um processo estocástico não precisa evoluir ao longo do tempo; pode ser estacionário. Na minha opinião, a diferença entre processo estocástico e série temporal é de ponto de vista. Um processo estocástico é uma coleção de variáveis ​​aleatórias enquanto uma série temporal é uma coleção de números, ou um caminho de realização ou amostra de um processo estocástico. Com suposições adicionais sobre o processo, podemos desejar usar o histograma de valores de números, as séries temporais, como uma estimativa da densidade comum (ou função de massa) de todas as variáveis ​​aleatórias que compõem o processo, etc.
Dilip Sarwate
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@DilipSarwate, as séries temporais podem ser estacionárias ou não.
Aksakal
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@ Aksakal Eu imploro para diferir. Suponha que o estatístico tenha observado a série temporal de comprimento finito Esta é uma série estacionária? Como você pode dizer que é (ou não é)? A menos que tenhamos disponíveis várias séries temporais (para os mesmos instantes de tempo) das quais podemos inferir sobre o processo estocástico ("Puxa, os histogramas de valores assumidos por são praticamente os mesmos, independentemente da escolha de ") . Mas uma única sequência de números? Você não pode dizer se a série é estacionária ou não, mas você poderia assumir tão re subjacente processo estocástico modelo
1,0,1,0,1,0,1
nXnn
Dilip Sarwate

Respostas:

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Como muitas discrepâncias preocupantes estão aparecendo em comentários e respostas, vamos nos referir a algumas autoridades.

James Hamilton nem mesmo define uma série temporal, mas é claro sobre o que é:

... este conjunto de números é apenas um resultado possível do processo estocástico subjacente que gerou os dados. De fato, mesmo se imaginássemos ter observado o processo por um período infinito de tempo, chegando à sequência a sequência infinita faria ainda será visto como uma realização única de um processo de série temporal. ...{ y t } t = = { ... , y - 1 , y 0 , Y 1 , Y 2 , ... , y T , y T + 1 , y T + 2 , ... , } , { y t } t = T

{yt}t=={,y1,y0,y1,y2,,yT,yT+1,yT+2,,},
{yt}t=

Imagine uma bateria de ... computadores gerando seqüências e considere selecionar a observação associada à data de cada sequência: Isso seria descrito como uma amostra das realizações da variável aleatória . ...{ Y ( 1 ) t } t = - , { y ( 2 ) t } t = - , ... , { y ( I ) t } t = - t { y ( 1 ) t , y ( 2 ) t , , y ( I )I{yt(1)}t=, {yt(2)}t=,, {yt(I)}t=tIYt

{yt(1),yt(2),,yt(I)}.
IYt

( Análise de séries temporais , capítulo 3.)

Assim, um "processo de série temporal" é um conjunto de variáveis ​​aleatórias indexadas pelos números inteiros .t{Yt}t

Nas Equações Diferenciais Estocásticas, Bernt Øksendal fornece uma definição matemática padrão de um processo estocástico geral:

Definição 2.1.4. Um processo estocástico é uma coleção parametrizada de variáveis ​​aleatórias definida em um espaço de probabilidade e assumindo valores em . ( Ω , F , P ) R n

{Xt}tT
(Ω,F,P) Rn

O espaço de parâmetro é geralmente (como neste livro) a linha do meio , mas também pode ser um intervalo , números inteiros não negativos e até subconjuntos de para .[ 0 , ) [ a , b ] R n n 1T[0,)[a,b]Rnn1

Juntando os dois, vemos que um processo de série temporal é um processo estocástico indexado por números inteiros.

Algumas pessoas usam "séries temporais" para se referir à realização de um processo de séries temporais (como no artigo da Wikipedia ). Podemos ver na linguagem de Hamilton um esforço razoável para distinguir o processo da realização pelo uso de "processo de séries temporais", para que ele possa usar "séries temporais" para se referir a realizações (ou mesmo dados).

whuber
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(+1) Penso que o último parágrafo é particularmente importante (embora subtil). Eu queria acrescentar, no entanto, que a idéia de uma "série temporal contínua" às vezes é vista. Ocasionalmente, a frase é usada simplesmente para indicar que a variável em si é contínua, em vez de discreta, mas também a vi usada para indicar que o tempo está sendo amostrado continuamente , de modo que "indexado por números inteiros" pode não ser uma definição universalmente aceita. Veja, por exemplo , aqui , dentro de Time Series: Theory & Methods, de Brockwell & Davis.
Silverfish
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@ Silverfish Agradeço esses comentários. Em última análise, porém, acho-os não convincentes pela simples razão de que "série" é universalmente usada em matemática para se referir a uma função com um domínio contável . "Amostrado continuamente" não pode ser incluído nesse conceito. Não estou contestando suas observações de que alguns autores podem ter se referido a processos estocásticos em tempo contínuo como "séries" - só estou dizendo que, se for esse o caso, eles estão abusando de uma terminologia bem estabelecida.
whuber
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Eu acho que há um certo grau de debate "descrição versus prescrição". A idéia de uma "série temporal contínua" é definitivamente uso minoritário (eu me pergunto se isso depende do campo, meu entendimento limitado é que as pessoas que processam o sinal geralmente se referem a um "sinal temporal contínuo" em vez de "séries") e pessoalmente eu Estou inclinado a concordar que a palavra "série" logicamente é mais consistente com amostragem discreta. Eu só queria salientar que o uso minoritário não é inédito, mesmo entre especialistas, o que pode explicar parte da confusão gerada.
Silverfish
@ Silverfish, portanto, para essa minoria que também considera séries temporais contínuas, o processo estocástico é igual a séries temporais?
Code Pope
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{Xt}

Mwandri
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Definindo um processo estocástico

(Ω,F,P)SR

  • ΩS
  • t
    • tTXt
    • ωΩX(ω)X

Definindo uma série temporal

Enquanto um processo estocástico tem uma definição matemática clara como cristal. Uma série temporal é uma noção menos precisa, e as pessoas usam séries temporais para se referir a dois objetos relacionados, mas diferentes:

  1. Como o WHuber descreve, um processo estocástico indexado por números inteiros ou alguma unidade de tempo incremental regular que pode, de certo modo, ser mapeado para números inteiros (por exemplo, dados mensais).
  2. Uma coleção de dados observados em intervalos regulares. Isso pode ser a realização de um processo estocástico indexado por números inteiros. Às vezes, isso é chamado de dados de séries temporais.

Exemplo: dois lançamentos de uma tacha

Ω={ωHH,ωHT,ωTH,ωTT}X1,X2

X1(ω)={1:ω{ωHH,ωHT}0:ω{ωTH,ωTT}

X2(ω)={1:ω{ωHH,ωTH}0:ω{ωHT,ωTT}

{X1,X2}XX(ωHH)=(H,H)

Matthew Gunn
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A diferença entre um processo estocástico e uma série temporal é semelhante à diferença entre um gato no teclado e uma resposta no Stack Exchange: Gatos nos teclados podem produzir respostas, mas gatos nos teclados não são respostas. Além disso, nem toda resposta é produzida por um gato em um teclado.

Uma série temporal pode ser entendida como uma coleção de pares tempo-valor-ponto de dados. Um processo estocástico, por outro lado, é um modelo matemático ou uma descrição matemática de uma distribuição de séries temporais¹. Algumas séries temporais são uma realização de processos estocásticos (de qualquer tipo). Ou, de outro ponto de vista: posso usar um processo estocástico como modelo para gerar uma série temporal.

Além disso, séries temporais também podem ser geradas de outras maneiras:

  • Eles podem ser o resultado de observações e, portanto, são gerados pela realidade. Embora eu possa modelar a realidade como um processo estocástico (eu também poderia dizer que considero a realidade como um processo estocástico), a realidade não é um processo estocástico da mesma maneira que o interior de uma caixa não é um conjunto de pontos (embora frequentemente (considere os dois equivalentes em contextos de modelagem).

  • x=2


¹ Se for um processo estocástico de tempo discreto. Processo estocástico de tempo contínuo são distribuições de funções em vez de séries temporais.

Wrzlprmft
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Não está claro se você está fazendo uma distinção entre um modelo e um conjunto de dados ou se está tentando fazer algum outro argumento. Também não está claro o que você considera um processo estocástico. (Tudo o que você disse é que "não é" um "processo estocástico em tempo discreto".) Essas incertezas em sua exposição podem aumentar a confusão, em vez de resolvê-la.
whuber
@ whuber: editei minha resposta para esclarecer alguns aspectos, mas acho que você também não entendeu a frase “nem mesmo”.
precisa saber é o seguinte
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Aprecio todas as discussões / comentários contribuídos sobre o assunto Séries temporais versus processo estocástico. Aqui está minha compreensão da diferença: A série temporal é um fenômeno observado, registrado como uma série de números indexados com o tempo em observação; é muito provável que seja uma série de observações de um fenômeno da vida real, como os preços das ações na Bolsa de Nova York. Por outro lado, o processo estocástico é como sempre entendido como uma representação matemática (não uma produção) das séries temporais.

Mago
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Os processos estocásticos são mais gerais que as séries temporais. Por exemplo, cadeias de Markov são processos estocásticos que não são séries temporais.
Michael R. Chernick
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@ Michael Chernick: Markov Chain não é consistente com as definições: "um conjunto de variáveis ​​aleatórias indexadas por números inteiros t" e "um processo estocástico indexado por números inteiros"? Quais partes dessas definições as cadeias de Markov não satisfazem ou você não concorda com essas definições?
ColorStatistics