O livro "Introdução ao aprendizado de máquina" de Ethem Alpaydın afirma que a dimensão VC de um retângulo alinhado ao eixo é 4. Mas como um retângulo pode quebrar um conjunto de quatro pontos colineares com pontos positivos e negativos alternativos?
Alguém pode explicar e provar a dimensão VC de um retângulo?
tl; dr: Você está com a definição de dimensão VC incorreta.
A dimensão VC dos retângulos é a cardinalidade do conjunto máximo de pontos que pode ser quebrado por um retângulo.
A dimensão VC dos retângulos é 4 porque existe um conjunto de 4 pontos que podem ser quebrados por um retângulo e qualquer conjunto de 5 pontos não pode ser quebrado por um retângulo. Portanto, embora seja verdade que um retângulo não pode quebrar um conjunto de quatro pontos colineares com positivo e negativo alternativo, a dimensão VC ainda é 4 porque existe uma configuração de 4 pontos que pode ser quebrada.
A dimensão VC de um algoritmo é o número máximo de pontos que
existe algum layout dos pontos tal que
para todas as rotulações desses pontos, o algoritmo não comete erros
E, de fato, há um layout de quatro pontos (como um diamante), de modo que um retângulo pode dividir qualquer conjunto de pontos positivos dos outros. A existência de um layout de quatro pontos em que o retângulo falhará é irrelevante.
Considere isso como um jogo entre você e um oponente. Você escolhe a localização dos pontos e o oponente os rotula como quiser. Se ele vencer encontrando uma rotulagem que não pode ser quebrada, a dimensão VC será menor que o número de pontos, mas se você vencer, a dimensão VC será igual ou superior ao número de pontos. Na sua pergunta, você não é forçado a selecionar esse arranjo; pode encontrar um arranjo melhor de pontos, o que permite ganhar.
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