Estacionidade espacial intrínseca: não se aplica apenas a pequenos atrasos?

A partir da definição de estacionariedade intrínseca:

$E[Z(x)-Z(x-h)] = 0$

Essa suposição é usada, por exemplo, na krigagem comum, em vez de assumir uma média constante em todo o espaço, assumimos que a média é constante localmente.

Se a média for constante em uma vizinhança, esperamos logicamente que a diferença entre duas medições próximas umas das outras seja zero. Mas como a média varia no espaço, não esperamos que a diferença de valores distantes entre si seja zero?

Portanto, a suposição de estacionariedade intrínseca não deveria ser:

$E[Z(x)-Z(x-h)] = 0$ para$h \to 0$

Sim e não.

sim

Lembro-me de que Andre Journel, há muito tempo, enfatizou os pontos que

• Pressupostos de estacionariedade são decisões tomadas pelo analista em relação a que tipo de modelo usar. Eles não são propriedades inerentes ao fenômeno.

• Tais premissas são robustas para as partidas porque o kriging (pelo menos há 20 anos) era quase sempre um estimador local com base na seleção de dados próximos nas vizinhanças de busca em movimento.

Esses pontos apóiam a impressão de que a estacionariedade intrínseca é uma propriedade puramente local, sugerindo que, na prática, ela só precisa se manter dentro de um bairro típico de pesquisa e, em seguida, apenas aproximadamente.

Não

No entanto, matematicamente é realmente o caso de que as diferenças esperadas devem todos ser exatamente zero, independentemente da distância. De fato, se tudo que você supôs fosse que as diferenças esperadas fossem contínuas no atraso , você não estaria assumindo muita coisa! Essa suposição mais fraca seria equivalente a afirmar uma falta de rupturas estruturais na expectativa (o que não implicaria sequer uma falta de rupturas estruturais nas realizações do processo), mas, caso contrário, não poderia ser explorado para construir as equações de krigagem nem mesmo estimar um variograma.$|h|$$h$

Para avaliar quão fraca (e praticamente inútil) pode ser a suposição de continuidade média, considere um processo na linha real para a qual$Z$

$$Z(x) = U\text{ if } x \lt 0;\ Z(x) = -U\text{ otherwise }$$

onde tem uma distribuição normal padrão. O gráfico de uma realização consistirá em meia linha na altura para negativo e outra meia linha na altura para positivo .$U$$u$$x$$-u$$x$

Para qualquer e ,$x$$h$

$$E(Z(x)-Z(x-h)) = E(Z(x)) - E(Z(x-h)) = E(\pm U) - E(\pm U) = 0 - 0 = 0$$

no entanto, quase certamente , mostrando que quase todas as realizações desse processo são descontínuas em , mesmo que a média do processo seja contínua em todo lugar.$U\ne -U$$0$

Interpretação

Diggle e Ribeiro discutem esta questão [na p. 66] Eles estão falando sobre funções aleatórias intrínsecas, para as quais os incrementos são considerados estacionários (e não apenas fracamente estacionários):$Z(x)-Z(x-h)$

As funções aleatórias intrínsecas adotam uma classe mais ampla de modelos do que as funções aleatórias estacionárias. No que diz respeito à previsão espacial, a principal diferença entre previsões obtidas de modelos intrínsecos e estacionários é que, se forem utilizados modelos intrínsecos, a previsão no ponto é influenciada pelo comportamento local dos dados; isto é, pela medição observada em locais relativamente próximos de$x$$x$, enquanto as previsões de modelos estacionários também são afetadas pelo comportamento global. Uma maneira de entender isso é lembrar que a média de um processo intrínseco é indeterminada. Como conseqüência, as previsões derivadas de um modelo intrínseco assumido tendem a flutuar em torno da média local. Por outro lado, as previsões derivadas de um modelo estacionário assumido tendem a reverter para a média global do modelo assumido em áreas onde os dados são escassos. Qual desses dois tipos de comportamento é o mais natural depende do contexto científico em que os modelos estão sendo usados.

Comente

Em vez disso, se você quiser controlar o comportamento local do processo, faça suposições sobre o segundo momento dos incrementos, . Por exemplo, quando isso se aproxima de como , o processo é contínuo quadrático médio. Quando existe um processo para o qual$E([Z(x)-Z(x-h)]^{2})$$0$$h\to 0$$Z^\prime$

$$E([Z(x)-Z(x-h) - h Z^\prime(x)]^{2}) = O(h^2)$$

para todo , então o processo é diferenciável pelo quadrado médio (com derivada ).$x$$Z^\prime$

Referências

Peter J. Diggle e Paulo J. Ribeiro Jr., Geoestatística Baseada em Modelos . Springer (2007)