Como testar a mediana de uma população?

Eu tenho uma amostra de 250 unidades. A distribuição é assimétrica. Quero testar uma hipótese de que a mediana da população é diferente de 3,5, por isso acho que um teste de uma amostra seria apropriado. Eu sei que o teste de Wilcoxon não é apropriado porque a distribuição não é simétrica. Um teste de sinal é apropriado para uso? Se não for, alguém pode recomendar outro teste?

Sinopse

A contagem de dados que excede tem uma distribuição binomial com probabilidade desconhecida p . Utilizar esta para conduzir um teste de binomial p = 1 / 2 contra o alternativa p ≠ 1 / 2 .$3.5$$p$$p=1/2$$p\ne 1/2$

O restante deste post explica o modelo subjacente e mostra como executar os cálculos. Ele fornece Rcódigo de trabalho para executá-los. Uma explicação detalhada da teoria subjacente ao teste de hipóteses é fornecida na minha resposta a "Qual é o significado dos valores p e valores t nos testes estatísticos?" .

O modelo estatístico

Assumindo que os valores são razoavelmente diversa (com alguns laços em ), em seguida, sob o seu hipótese nula, qualquer valor de amostragem aleatória tem um 1 / 2 = 50 % possibilidade de exceder 3,5 (desde 3,5 é caracterizada como o valor médio da população). Supondo que todos os 250 valores foram aleatoriamente e independentemente amostrado, o número delas superior a 3,5 , por conseguinte, ter um binomial ( 250 , 1 / 2 ) de distribuição. Vamos chamar esse número de "contagem", k .$3.5$$1/2=50\%$$3.5$$3.5$$250$$3.5$$(250,1/2)$$k$

Por outro lado, se a população difere da mediana de , a probabilidade de um valor de amostragem aleatória superior a 3,5 será diferente de 1 / 2 . Esta é a hipótese alternativa.$3.5$$3.5$$1/2$

Encontrando um teste adequado

A melhor maneira de distinguir a situação nula de suas alternativas é observar os valores de que são mais prováveis ​​sob o nulo e menos prováveis ​​sob as alternativas. Estes são os valores de perto de 1 / 2 de 250 , igual a 125 . Portanto, uma região crítica para o seu teste consiste em valores relativamente distantes de 125 : próximo a 0 ou próximo a 250 . Mas a que distância devem estar 125 para constituir evidência significativa de que 3,5 não é a mediana da população?$k$$1/2$$250$$125$$125$$0$$250$$125$$3.5$

Depende do seu padrão de significância: isso é chamado de tamanho do teste , geralmente denominado . Sob a hipótese nula, não deve ser perto de - mas não mais do que - um α chance de que k vai ser na região crítica.$\alpha$$\alpha$$k$

Normalmente, quando não temos preconceitos sobre qual alternativa será aplicada - uma mediana maior ou menor que -, tentamos construir a região crítica para que haja metade dessa chance, α / 2 , de que k é baixo e o outro metade, α / 2 , que k é alto. Como sabemos a distribuição de k sob a hipótese nula, essas informações são suficientes para determinar a região crítica.$3.5$$\alpha/2$$k$$\alpha/2$$k$$k$

Tecnicamente, existem duas maneiras comuns de realizar o cálculo: calcule as probabilidades binomiais ou aproxime-as com uma distribuição normal.

Cálculo com probabilidades binomiais

Use a função de ponto percentual (quantil). Por Rexemplo, isso é chamado qbinome seria chamado como

alpha <- 0.05 # Test size
c(qbinom(alpha/2, 250, 1/2)-1, qbinom(1-alpha/2, 250, 1/2)+1)

A saída para é$\alpha=0.05$

109 141

Isso significa que a região crítica compreende todos os valores baixos de entre (e incluindo) 0 e 109 , juntamente com todos os valores altos de k entre (e incluindo) 141 e 250 . Como verificação, podemos pedir para calcular a chance que existe nessa região quando o nulo for verdadeiro:$k$$0$$109$$k$$141$$250$Rk

pbinom(109, 250, 1/2) + (1-pbinom(141-1, 250, 1/2))

A saída é , muito próxima - mas não maior que-- α . Como a região crítica deve terminar com um número inteiro, geralmente não é possível tornar esse tamanho de teste real exatamente igual ao tamanho nominal de teste α , mas nesse caso os dois valores são muito próximos.$0.0497$$\alpha$$\alpha$

Cálculo com a aproximação normal

A média de um binomial de distribuição é de 250 × 1 / 2 = 125 e a sua variação é de 250 × 1 / 2 × ( 1 - 1 / 2 ) = 250 / 4 , fazendo o seu desvio padrão igual a $(250, 1/2)$$250\times 1/2=125$$250\times 1/2\times (1-1/2) = 250/4$. Substituiremos a distribuição binomial por uma distribuição normal. A distribuição normal padrão temα/2=0,05/2de sua probabilidade menor que-1,95996, conforme calculado pelocomando$\sqrt{250/4}\approx 7.9$$\alpha/2=0.05/2$$-1.95996$R

qnorm(alpha/2)

$0.05/2$$+1.95996$$k$$1.95996$$125$$125 \pm 7.9\times 1.96 \approx 109.5, 140.5$

250*1/2 + sqrt(250*1/2*(1-1/2)) * qnorm(alpha/2) * c(1,-1)

$k$$109$$141$$p$$1/2$$0$$1$$\alpha$

Esse teste, porque não assume nada sobre a população (exceto que não tem muita probabilidade focada diretamente na sua mediana), não é tão poderoso quanto outros testes que fazem suposições específicas sobre a população. Se o teste rejeitar o nulo, não há necessidade de se preocupar com falta de energia. Caso contrário, é necessário fazer algumas trocas delicadas entre o que você está disposto a assumir e o que é capaz de concluir sobre a população.