Eu tenho duas variáveis normalmente distribuídas e com zero médio e matriz de covariância . Estou interessado em tentar calcular o valor de em termos das entradas de .X 2 Σ E [ X 2 1 X 2 2 ] Σ
Usei a lei da probabilidade total para obter mas não sei ao que a expectativa interna se reduz. Existe outro método aqui?
Obrigado.
Editar: As variáveis também são multivariadas normalmente distribuídas.
Respostas:
A expectativa é claramente proporcional ao produto dos fatores de escala ao quadrado . A constante de proporcionalidade é obtida pela padronização das variáveis, o que reduz à matriz de correlação com correlação . Σ p = σ 12 / √σ11σ22 Σ ρ=σ12/σ11σ22−−−−−√
Assumindo normalidade bivariada, de acordo com a análise em https://stats.stackexchange.com/a/71303, podemos alterar as variáveis para
onde tem uma distribuição normal bivariada padrão (não correlacionada) e precisamos apenas calcular(X,Y)
onde o valor preciso da constante não importa. ( é o resíduo na regressão de contra .) Usando as expectativas univariadas para a distribuição normal padrãoY X 2 X 1c Y X2 X1
e observando que e são rendimentos independentesYX Y
Multiplicar por forneceσ11σ22
O mesmo método se aplica a encontrar a expectativa de qualquer polinômio em , porque ele se torna um polinômio em e que, quando expandido, é um polinómio nas independentes variáveis normalmente distribuídos e . De(X1,X2) (X,ρX+(1−ρ2−−−−−√)Y) X Y
para integral (com todos os momentos ímpares iguais a zero por simetria), podemos derivark≥0
(com todas as outras expectativas de monômios iguais a zero). Isso é proporcional a uma função hipergeométrica (quase por definição: as manipulações envolvidas não são profundas ou instrutivas),
A função hipergeométrica vezes é vista como uma correção multiplicativa para diferente de zero .ρ(1−ρ2)q ρ
fonte