Como calcular a função de probabilidade

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Tempo de vida de 3 componentes electrónicos são e X 3 = 2,1 . As variáveis ​​aleatórias foram modeladas como uma amostra aleatória de tamanho 3 da distribuição exponencial com o parâmetro θ . A função de probabilidade é, para θ > 0X1=3,X2=1.5,X3=2.1θθ>0

, onde x = ( 2 , 1,5 , 2,1 ) .f3(x|θ)=θ3exp(6.6θ)x=(2,1.5,2.1)

E então o problema prossegue para determinar o MLE encontrando o valor de que maximiza l o g f 3 ( x | θ ) . Minha pergunta é: como determino a função de probabilidade? Procurei o pdf da distribuição exponencial, mas é diferente. Então, a função de probabilidade sempre é dada a mim em um problema? Ou tenho que determinar eu mesmo? Se sim, como?θlogf3(x|θ)

Adrian
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Por que você deseja fazer uma estimativa de probabilidade com apenas três observações? A estimativa para θ será tendenciosa e terá uma enorme variação. É HW? θ
Zachary Blumenfeld
Você sabe qual é a definição da probabilidade?
Glen_b -Reinstala Monica

Respostas:

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A função de probabilidade de uma amostra é a densidade conjunta das variáveis ​​aleatórias envolvidas, mas vista como uma função dos parâmetros desconhecidos, dada uma amostra específica de realizações dessas variáveis ​​aleatórias.

No seu caso, parece que a suposição aqui é que a vida útil desses componentes eletrônicos segue (ou seja, tem uma distribuição marginal), uma distribuição exponencial com o parâmetro de taxa idêntico e, portanto, o PDF marginal é:θ

fXi(xiθ)=θeθxi,i=1,2,3

Além disso, parece que a vida de cada componente é totalmente independente da vida dos outros. Nesse caso, a função densidade da junta é o produto das três densidades,

fX1,X2,X3(x1,x2,x3θ)=θeθx1θeθx2θeθx3=θ3exp{θi=13xi}

Para transformar isso na função de probabilidade da amostra, nós a vemos como uma função de dada uma amostra específica de x i 's.θxi

eu(θ{x1 1,x2,x3})=θ3exp{-θEu=1 13xEu}

{x1 1=3,x2=1.5,x3=2.1}Eu=1 13xEu=6.6.

eu(θ{x1 1=3,x2=1.5,x3=2.1})=θ3exp{-6.6.θ}

xEuθxθ

n=36.6.θx

Alecos Papadopoulos
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