Transformação linear de uma variável aleatória por uma matriz retangular alta

Digamos que temos um vetor aleatório , extraído de uma distribuição com função de densidade de probabilidade . Se o transformarmos linearmente por uma matriz classificação completa para obter , a densidade de será dada por$\vec{X} \in \mathbb{R}^n$$f_\vec{X}(\vec{x})$$n \times n$$A$$\vec{Y} = A\vec{X}$$\vec{Y}$

$$f_{\vec{Y}}(\vec{y}) = \frac{1}{\left|\det A\right|}f_{\vec{X}}(A^{-1}\vec{y}).$$

Agora digamos que transformamos $\vec{X}$ vez de uma matriz m \ times n B , com m> n , fornecendo \ vec {Z} = B \ vec {X} . Claramente Z \ in \ mathbb {R} ^ m , mas "vive" de um subespaço n- dimensional G \ subset \ mathbb {R} ^ m . Qual é a densidade condicional de \ vec {Z} , dado que sabemos que ela está em G ?$m \times n$$B$$m > n$$\vec{Z} = B\vec{X}$$Z \in \mathbb{R}^m$$n$$G \subset \mathbb{R}^m$$\vec{Z}$$G$

Meu primeiro impulso foi de usar o pseudo-inverso de $B$ . Se $B = U S V^T$ é a decomposição do valor singular de $B$ , em seguida, $B^+ = V S^+ U^T$ é a pseudo-inversa, onde $S^+$ é formado por inversão dos não-zero entradas da matriz diagonal $S$ . Imaginei que isso daria

$$f_\vec{Z}(\vec{z}) = \frac{1}{\left|\det^+ S\right|} f_\vec{X}(B^+ \vec{z}),$$ onde $\det^+ S$ quero dizer o produto dos valores singulares diferentes de zero.

Esse raciocínio concorda com a densidade de um normal singular (condicionado ao conhecimento de que a variável vive no subespaço apropriado) fornecido aqui e mencionado também aqui e neste post CrossValidated .

Mas não está certo! A constante de normalização está desativada. Um contra-exemplo (trivial) é dado considerando o seguinte caso: Com $X \sim \mathcal{N(0, 1)}$ , deixe

$$\vec{Y} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} X = \begin{pmatrix}X \\ X\end{pmatrix}.$$ Aqui a matriz $B$ de cima é apenas o vetor ones. Sua pseudo-inversa é $$B^+ = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2\end{pmatrix}$$ e $\det^+ B = \sqrt{2}$ . O raciocínio acima sugere $$f_\vec{Y}(\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{y}^T (B^+)^T B^+ \vec{y}\right),$$ mas isso de fato se integra (na linha $y = x$ ) a $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Sei que, nesse caso, você pode simplesmente soltar uma das entradas de $\vec{Y}$ , mas quando $B$ é muito maior, identificar o conjunto de entradas a ser descartado é irritante. Por que o raciocínio pseudo-inverso não funciona? Existe uma fórmula geral para a função densidade de uma transformação linear de um conjunto de variáveis ​​aleatórias por uma matriz "alta"? Qualquer referência seria muito apreciada também.

Para aqueles que podem se deparar com isso no futuro ... a origem do erro realmente decorre da integração. No exemplo acima, a integração ocorre sobre a linha . Portanto, é necessário "parametrizar" a linha e considerar o jacobiano da parametrização ao obter a integral, pois cada passo unitário no eixo corresponde a passos de comprimento na linha. A parametrização que eu estava usando implicitamente foi dada por , em outras palavras, especificando as duas entradas idênticas de por valor. Isso tem jacobiano , que cancela ordenadamente com o$y = x$$x$$\sqrt{2}$$x \mapsto (x, x)$$\vec{y}$$\sqrt{2}$$\sqrt{2}$ (provenientes exatamente do mesmo jacobiano) no denominador.

O exemplo foi artificialmente simples - para uma transformação geral , pode-se ter outra parametrização para a saída que é natural no contexto do problema. Como a parametrização precisa abranger o mesmo subespaço que e esse subespaço é um hiperplano, é provável que a parametrização seja linear. Chamando a representação matricial da parametrização , o requisito é simplesmente que ele tenha o mesmo espaço de coluna que (cubra o mesmo hiperplano). Então a densidade final se torna$B$$G$$B$$m \times n$$L$$B$

$$f_{\vec{Z}}(\vec{z}) = \frac{\left|\det^+ L\right|}{\left|\det^+ B\right|}f_{\vec{X}}(B^+ \vec{z}).$$

Em geral, essa configuração é meio estranha, e acho que a coisa certa a fazer é encontrar um conjunto máximo de linhas linearmente independentes de e remover o restante das linhas (junto com os componentes correspondentes da variável transformada ) para obter uma matriz quadrada . Em seguida, o problema reduz-se ao caso classificação completa (supondo que tenha classificação de coluna completa).$B$$\vec{z}$$\hat B$$n \times n$$B$