Calcular quantil da soma das distribuições de quantis específicos

Vamos supor variáveis ​​aleatórias independentes para as quais os quantis em algum nível específico são conhecidos por estimativa a partir dos dados: , ..., . Agora vamos definir a variável aleatória como a soma . Existe uma maneira de calcular o valor do quantil da soma no nível , ou seja, em ?X 1 , . . . , X N α α = P ( X 1 < q 1 ) α = P ( X N < q N ) Z Z = ∑ N i = 1 X i α q z α = P ( Z < q Z$N$$X_1, ..., X_N$$\alpha$$\alpha = P(X_1 < q_1)$$\alpha = P(X_N < q_N)$$Z$$Z = \sum_{i=1}^N X_i$$\alpha$$q_z$$\alpha = P(Z < q_Z)$

Penso que em casos particulares, como se o segue uma distribuição gaussiana isso é fácil, mas não tenho tanta certeza do caso em que a distribuição do é desconhecida. Alguma ideia? ∀ i X $X_i$$\forall i$$X_i$

$q_Z$ poderia ser qualquer coisa.

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Para entender essa situação, vamos fazer uma simplificação preliminar. Ao trabalhar com , obtemos uma caracterização mais uniforme$Y_i = X_i - q_i$

$$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$$

Ou seja, cada tem a mesma probabilidade de ser negativo. Porque$Y_i$

$$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$$

a equação que define para é equivalente a$q_Z$

$$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$$

com .$q_Z = q_W + \sum_i q_i$

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Quais são os valores possíveis de ? Considere o caso em que todos os têm a mesma distribuição com toda a probabilidade em dois valores, um deles negativo ( ) e o outro positivo ( ). Os possíveis valores da soma são limitados a para . Cada um destes ocorre com probabilidade$q_W$$Y_i$$y_{-}$$y_{+}$$W$$ky_{-} + (n-k)y_{+}$$k=0, 1, \ldots, n$

$${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$$

Os extremos podem ser encontrados por

1. Escolhendo e para que ; e vai fazer isso. Isso garante que será negativo, exceto quando todos os forem positivos. Essa chance é igual a . Excede quando , implicando que o quantil de deve ser estritamente negativo.$y_{-}$$y_{+}$$y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$$y_{-}=-n$$y_{+}=1$$W$$Y_i$$1 - (1-\alpha)^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

2. Escolhendo e para que ; e farão isso. Isso garante que será negativo somente quando todos os forem negativos. Essa chance é igual a . É menor que quando , implicando que o quantil de deve ser estritamente positivo.$y_{-}$$y_{+}$$(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$$y_{-}=-1$$y_{+}=n$$W$$Y_i$$\alpha^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

Isso mostra que o quantil de pode ser negativo ou positivo, mas não é zero. Qual poderia ser o seu tamanho? Ele deve ser igual a alguma combinação linear integral de e . Tornar esses dois valores inteiros garante que todos os valores possíveis de sejam integrais. Ao escalar por um número positivo arbitrário , podemos garantir que todas as combinações lineares integrais de e são múltiplos integrais de . Como , ele deve ter pelo menos em tamanho . Consequentemente,$\alpha$$W$$y_{-}$$y_{+}$$W$$y_{\pm}$$s$$y_{-}$$y_{+}$$s$$q_W \ne 0$$s$os possíveis valores de (e de onde ) são ilimitados,$q_W$$q_Z$ não importa o que possa ser igual.$n\gt 1$

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A única maneira de obter qualquer informação sobre seria fazer restrições específicas e fortes nas distribuições do , a fim de impedir e limitar o tipo de distribuição desequilibrada usada para obter esse resultado negativo.$q_Z$$X_i$