Por que usar o método Monte Carlo em vez de uma grade simples?

ao integrar uma função ou em simulações complexas, vi que o método de Monte Carlo é amplamente utilizado. Estou me perguntando por que não se gera uma grade de pontos para integrar uma função em vez de desenhar pontos aleatórios. Isso não traria resultados mais exatos?

Achei os capítulos 1 e 2 dessas anotações úteis quando fiz a mesma pergunta há alguns anos. Um breve resumo: uma grade com pontos no espaço 20 dimensional exigirá avaliações da função N 20 . Isso é muito. Usando a simulação de Monte Carlo, evitamos a maldição da dimensionalidade até certo ponto. A convergência de uma simulação de Monte Carlo é S ( N - 1 / 2 ) , que é, embora bastante lento, dimensionalmente independente .$N$$N^{20}$$O(N^{-1/2})$

Claro que sim; no entanto, ele vem com um uso de CPU muito maior. O problema aumenta especialmente em muitas dimensões, onde as grades se tornam efetivamente inutilizáveis.

Comentários anteriores estão certos, pois a simulação é mais fácil de usar em problemas multidimensionais. No entanto, existem maneiras de solucionar sua preocupação - consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Halton_sequence e http://en.wikipedia.org/wiki/Sparse_grid .

Enquanto normalmente se trata de amostragem de rejeição ao considerar Monte Carlo, o Markov Chain Monte Carlo permite explorar um espaço de parâmetros multidimensionais com mais eficiência do que com uma grade (ou amostragem de rejeição). Como o MCMC pode ser usado para integração é claramente indicado neste tutorial - http://bioinformatics.med.utah.edu/~alun/teach/stats/week09.pdf

Duas coisas -

1. Convergência mais rápida, evitando a maldição da dimensionalidade. Como a maioria dos pontos em uma grade está no mesmo hiperplano sem contribuir com informações significativamente extras. Pontos aleatórios preenchem o espaço N-dimensional uniformemente. O SUD é ainda melhor.

2. Às vezes, para os métodos de Monte Carlo, precisamos de pontos estatisticamente aleatórios em nenhuma ordem específica. Uma sequência ordenada de pontos da grade resultará em propriedades estatísticas ruins.