Definindo a dependência da cauda

Eu tenho tentado encontrar uma definição simples e concisa do que é a dependência da cauda. Alguém poderia compartilhar o que eles acreditam que é.

Em segundo lugar, se eu plotar simulações usando diferentes cópulas em um gráfico, como saberia quais exibem dependência de cauda.

a definição da dependência da cauda superior de rv e com suas respectivas distribuições marginais F e G é: (Embrechts et al. (2001)). É a probabilidade de Y atingir valores extremamente grandes, dado que a variável aleatória X atinge valores extremamente grandes. Portanto, pode ser entendido de uma maneira que, quanto mais próximo o \ lambda estiver de um, mais próximo o vínculo entre X atingindo valores altos e Y atingindo valores altos também.$X$$Y$$\lim_{u \to 1} P\{ Y>G^{-1}(u)|X>F^{-1}(u))=\lambda_u$$\lambda$

Dizer se as cópulas exibem dependência de cauda não é difícil em casos extremos: o que importa é se as (duas) variáveis ​​aparecem se comportam mais de perto nos cantos do gráfico do que no centro.

A cópula gaussiana não tem dependência de cauda - embora as variáveis ​​aleatórias sejam altamente correlacionadas, parece não haver uma relação especial com nenhuma das variáveis ​​que atinge valores altos (nos cantos do gráfico).

A ausência da dependência da cauda se torna aparente quando o gráfico é comparado ao gráfico de simulações dos mesmos marginais, mas com a cópula T-2.

As cópulas-T têm a dependência da cauda e a dependência aumenta com a correlação e diminui com o número de graus de liberdade. Se mais pontos fossem simulados, para cobrir uma parte maior do quadrado da unidade, quase veríamos os pontos com uma linha fina nos cantos superior direito e inferior esquerdo. Mas mesmo no gráfico, é evidente que nos quadrantes superior direito e inferior esquerdo - ou seja, onde ambas as variáveis ​​atingem valores muito baixos ou muito altos - as duas variáveis ​​parecem estar ainda mais intimamente correlacionadas do que no corpo.

Os mercados financeiros tendem a exibir dependência da cauda, ​​especialmente menor dependência da cauda; Por exemplo, os principais retornos das ações em tempos normais têm uma correlação de aproximadamente 0,5, mas em setembro / outubro de 2008, alguns pares apresentaram correlação acima de 0,9 - ambos estavam caindo maciçamente. A cópula gaussiana foi usada antes da crise para a precificação de produtos de crédito proveniente e, como não contava com a dependência da cauda, ​​subestimou as perdas potenciais quando muitos proprietários de casas ficaram incapazes de pagar. Os pagamentos dos proprietários podem ser entendidos como variáveis ​​aleatórias - e provaram estar altamente correlacionados no momento em que muitas pessoas começaram a ter problemas para pagar suas hipotecas. Como esses padrões estavam intimamente relacionados devido a um clima econômico adverso, os agains mostraram uma dependência de cauda.

PS: Tecnicamente falando, as imagens mostram distribuições multivariadas geradas a partir das cópulas e marginais normais.

Dependência de cauda é quando a correlação entre duas variáveis ​​aumenta à medida que você "avança" na cauda (uma ou ambas) da distribuição. Compare uma cópula de Clayton com uma cópula de Frank.

O Clayton tem dependência de cauda esquerda. Isso significa que, à medida que você se aproxima da cauda esquerda (valores menores), as variáveis ​​se tornam mais correlacionadas. O Frank (e gaussiano) é simétrico. Se a correlação for 0,45, será 0,45 durante todo o período da distribuição.

Os sistemas econômicos tendem a exibir dependência de cauda. Por exemplo, assuma o risco de crédito da resseguradora. Quando as perdas gerais são normais, se a resseguradora A ou a resseguradora B não pagará seus pagamentos a uma seguradora pode parecer não correlacionada ou muito pouco correlacionada. Agora imagine que uma série de baixas aconteceu (como os furacões Rita, Wilma, Ida, etc.). Agora, todo o mercado está sendo atingido um após o outro com enormes solicitações de pagamento, o que pode levar a uma questão de liquidez que muitas resseguradoras enfrentarão devido ao escopo do problema e às demandas simultâneas de seus segurados. Sua capacidade de pagar está muito mais correlacionada agora. Este é um exemplo no qual é necessária uma cópula com depedência à direita.

Dependência de cauda, ​​pelo menos na minha opinião, explicada a alguém com histórico limitado de estatísticas.

Imagine que você tem duas variáveis, X e Y. Com 100.000 observações de cada uma. As observações estão ligadas em um sentido. Talvez eles tenham sido gerados usando uma cópula ou você tenha os valores de retorno de duas ações fortemente correlacionadas ao longo de 100.000 períodos de tempo.

Vejamos o pior 1% de observações para X. São 1.000 observações. Agora observe o valor correspondente para Y nessas 1.000 observações. Se X e Y fossem independentes, você esperaria que 10 observações dessas 1.000 observações fizessem parte dos piores valores de 1% de Y.

É provável que o número real de observações seja maior que 10 quando os valores de X e Y não são independentes nas caudas, é o que chamamos de dependência da cauda .