Probabilidade condicional de variável contínua

Suponha que a variável aleatória $U$ siga uma distribuição uniforme uniforme com os parâmetros 0 e 10 (ou seja, $U \sim \rm{U}(0,10)$ )

Agora, vamos denotar A o evento que $U$ = 5 e B o evento que $U$ é igual a $5$ ou 6. De acordo com o meu entendimento, ambos os eventos têm probabilidade zero de ocorrer.

Agora, se considerarmos calcular $P(A|B)$ , não podemos usar a lei condicional $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$ , porque$P(B)$é igual a zero. No entanto, a minha intuição me diz que$P(A|B) = 1/2$.

"O conceito de probabilidade condicional em relação a uma hipótese isolada cuja probabilidade é igual a 0 é inadmissível." A. Kolmogorov

Para variáveis ​​aleatórias contínuas, e Y dizem, distribuições condicionais são definidas pela propriedade de que eles recuperam a medida de probabilidade original, ou seja, para todos os conjuntos mensuráveis A ∈ B ( X ) , B ∈ B ( Y ) , P ( X ∈ Um , Y ∈ B ) = ∫ B d P Y ( Y ) ∫ B d P X | Y ( x $X$$Y$$A\in\mathcal{B}(\mathbf{X})$$B\in\mathcal{B}(\mathbf{Y})$ Isso implica que a densidade condicional seja definida arbitrariamente em conjuntos de medidas zero ou, em outras palavras, que a densidade condicional p X | Y ( x | y ) é definidoquase em todo lugar. Como o conjunto { 5 , 6 } é da medida zero em relação à medida de Lebesgue, isso significa que você pode definir p ( 5 ) e p ( 6 ) de maneiras absolutamente arbitrárias e, portanto, a probabilidade P ( U = 5

$$\mathbb{P}(X\in A,Y\in B)=\int_B \text{d}P_Y(y) \int_B \text{d}P_{X|Y}(x|y)$$ $p_{X|Y}(x|y)$$\{5,6\}$$p(5)$$p(6)$ pode assumir qualquer valor. $$\mathbb{P}(U=5|U\in\{5,6\})$$

Isso não significa que você não pode definir uma densidade condicional pela fórmula da razão como no caso normal bivariado, mas simplesmente que a densidade é definida apenas em quase todos os lugares para ambos x e y .

$$f(y|x)=f(x,y)\big/f(x)$$ $x$$y$

"Muitos argumentos fúteis surgiram - entre probabilistas de outra forma competentes - sobre qual desses resultados é 'correto'." ET Jaynes

O fato de o argumento limitador (quando chegar a zero) na resposta acima parece dar uma resposta natural e intuitiva está relacionado ao paradoxo de Borel . A escolha da parametrização no limite é importante, como mostra o exemplo a seguir que uso nas minhas aulas de graduação.$\epsilon$

---

Tome o bivariado normal , Y i.id ∼ N ( 0 , 1 ) Qual é a densidade condicional de X dado que X = Y ?

$$X,Y\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\mathcal{N}(0,1)$$ $X$$X=Y$

---

Se alguém começa a partir da densidade da junta , a resposta "intuitiva" é [proporcional a] φ ( x ) 2 . Isso pode ser obtido considerando a mudança da variável ( x , t ) = ( x , y - x ) ∼ φ ( x ) φ ( t + x ) onde T = Y - X tem a densidade φ $\varphi(x)\varphi(y)$$\varphi(x)^2$

$$(x,t)=(x,y-x) \sim \varphi(x)\varphi(t+x)$$ $T=Y-X$ . Logo,f(x|t)= φ ( x ) φ ( t + x $\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}$ ef(x|t=0)=φ(x)φ(x $$f(x|t)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(t+x)}{\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}}$$ No entanto, se considerarmos a alteração da variável(x,r)=(x,y/x)∼φ(x)φ(rx)| x| a densidade marginal deR=Y/Xé a densidade de Cauchyψ(r)=1/π{1+r2}e a densidade condicional de $$f(x|t=0)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(x)}{\varphi(0/\sqrt{2})/\sqrt{2}}=\varphi(x)^2\sqrt{2}$$ $$(x,r)=(x,y/x) \sim \varphi(x)\varphi(rx)|x|$$ $R=Y/X$$\psi(r)=1/\pi\{1+r^2\}$$X$ dado que é f ( x $R$ $$f(x|r)=\varphi(x)\varphi(rx)|x| \times \pi \{1+r^2\}$$ $$f(x|r=1)= \pi\varphi(x)^2|x|/2\,.$$ $R=1$$T=0$$X=Y$$X$

Aqui está uma resposta controversa:

Xi'an está certo que você não pode condicionar eventos com probabilidade zero. No entanto, a Yair também tem razão em que, depois de decidir sobre um processo de limitação , você poderá avaliar uma probabilidade. O problema é que existem muitos processos limitadores que chegam à condição desejada.

Eu acho que o princípio da indiferença às vezes pode resolver essas escolhas. Argumenta que o resultado não deve ser afetado por uma troca arbitrária de rótulos. no seu caso, digamos, invertendo o intervalo para que fique uniforme$(1, 11)$e os pontos 5 e 6 foram trocados. Inverter altera uma resposta$p$ para $1-p$. Portanto, se você escolheu um processo limitador diferente para um do outro, então, por uma mudança arbitrária de rótulos (nesse caso, alterando o infinito positivo por infinito negativo) obteve um resultado diferente. Isso não deve acontecer de acordo com o princípio da indiferença. Portanto, a resposta é 0,5 como você adivinhou.

Observe que muitos estatísticos não aceitam o princípio da indiferença. Gosto porque reflete minhas intuições. Embora eu nem sempre tenha certeza de como aplicá-lo, talvez em 50 anos seja mais popular?

Yes we can! You can condition on events of zero probability! The math gets complicated - you need some measure theory but you can do it. In simple cases like this I would seek intuition by defining $A = [5 - \frac{\epsilon}{2} , 5 + \frac{\epsilon}{2}]$ and $B = [5 - \frac{\epsilon}{4} , 5 + \frac{\epsilon}{4}] \cup [6 - \frac{\epsilon}{4} , 6 + \frac{\epsilon}{4}]$. Do everything now as you did before and take $\epsilon \to 0$.

Let me stress again (and again) that the above method is used for intuition. Conditioning on events of zero probability is done very often without much thought. The best example I can think of is if $(X_1, X_2) \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ is a bivariate gaussian. One often considers the density of $X_1$ given (say) $X_2 = 0$, which is an event of measure zero. This is well grounded in theory, but not at all trivial. Regarding @Xi'an's quote of Kolmogorov - I can only quote Varadhan: "One of our goals is to seek a definition that makes sense when $P(\xi = a) = 0$" (Probability Theory, Courant lecture notes, page 74).

So, yes, you can give meaning to conditioning on events of measure zero.