Se são beta independentes, então mostra também é beta

Aqui está um problema que surgiu em um exame semestral em nossa universidade, alguns anos atrás, e estou lutando para resolver.

Se são variáveis aleatórias independentes com densidades e respectivamente, mostram que segue . $X_1,X_2$ $\beta$ $\beta(n_1,n_2)$ $\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$ $\sqrt{X_1X_2}$ $\beta(2n_1,2n_2)$

Usei o método jacobiano para obter que a densidade de é a seguinte: $Y=\sqrt{X_1X_2}$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y}^{1} \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{y^{2}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$

Eu estou perdido neste momento, na verdade. Agora, no jornal principal, descobri que uma dica havia sido fornecida. Tentei usar a dica, mas não consegui obter as expressões desejadas. A dica é literalmente da seguinte maneira:

Dica: Derive uma fórmula para a densidade de em termos das densidades especificadas de e e tente usar uma alteração de variável com . $Y=\sqrt{X_1X_2}$ $X_1$ $X_2$ $z=\dfrac{y^2}{x}$

Portanto, neste ponto, tento fazer uso dessa dica considerando essa alteração de variável. Portanto, recebo, que, após simplificação, acaba sendo (escrevendo para )

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{z^{2}}{y^{4}} (1 - \frac{y^{4}}{z^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - y^{2} . \frac{z^{2}}{y^{4}})^{n_{2} - 1} \frac{y^{2}}{z^{2}} d z

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$

x

$x$

z

$z$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{1}{y^{2}} (1 - \frac{y^{4}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{x^{2}}{y^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$

Eu realmente não sei como proceder. Eu nem tenho certeza de que estou interpretando a dica corretamente. Enfim, aqui vai o resto da dica:

Observe que, usando a alteração da variável , a densidade necessária pode ser expressa de duas maneiras para obter a média de Agora divida o intervalo de integração em e e escreva e prossiga com . $z=\dfrac{y^2}{x}$
$f_{Y} (y) = c o n s t a n t . y^{2 n_{1} - 1} \int_{y^{2}}^{1} (1 - \frac{y^{2}}{x})^{n_{2} - 1} (1 - x)^{n_{2} - 1} (1 + \frac{y}{x}) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ $f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ $(y^2,y)$ $(y,1)$ $(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$ $u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$

Bem, honestamente, não consigo entender como se pode usar essas dicas: parece que estou chegando a lugar nenhum. A ajuda é apreciada. Desde já, obrigado.

self-study random-variable beta-distribution distributions jacobian Landon Carter
fonte

Eu já vi um problema semelhante antes do qual compilei algumas referências. Veja arxiv.org/pdf/1304.6671v1.pdf mathoverflow.net/questions/32782/…

Sid

@ Sid Desculpe, mas não encontrei esse problema nessas referências ou em algo semelhante. Você poderia indicar os lugares? Obrigado!!

Landon Carter

Tem certeza de que aplicou o método jacobiano corretamente? Se fizer isso, obtenho: Acho que você também precisará da duplicação fórmula , consulte en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

f_{Y} (y) = \frac{2 y^{2 n_{1} - 1}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + 0.5, n_{2})} \int_{y^{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} [(1 - \frac{y^{2}}{x}) (1 - x)]^{n_{1} - 1} d x

$f_Y(y) = \frac{2 y^{2n_1-1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+0.5,n_2)} \int_{y^2}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} [(1-\frac{y^2}{x})(1-x)]^{n_1-1} dx$

Γ (z) Γ (z + 0.5) = 2^{1 - 2 z} \sqrt{π} Γ (2 z)

$\Gamma(z)\Gamma(z+0.5)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)$

StijnDeVuyst

Aparentemente, parece que as fórmulas são as mesmas. Talvez você precise usar a alteração da variável em sua fórmula para obter a minha. Eu estou falando sobre o jacobiano.

z = \sqrt{x}

$z=\sqrt{x}$

Landon Carter

Eu não acho que eles são iguais. Fazendo a alteração da variável mencionada na minha fórmula, recebo algo um pouco mais simples do que o que você tem na primeira integral do seu OP.

StijnDeVuyst 23/03

Respostas:

Eu provaria isso de uma maneira diferente, usando funções geradoras de momento. Ou de modo equivalente, mostrando que o th momento de é igual à th momento de uma variável aleatória com de distribuição. Se assim é para todos os pontos , então, pela força do problema do momento, o exercício é comprovado. $q$ $\sqrt{X_1X_2}$ $q$ $B$ $\beta(2n_1,2n_2)$ $q=1,2,\ldots$

Para a última parte, obtém-se a partir de http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Other_moments que o th momento de é Agora, para a primeira parte: $q$ $B$

E [B^{q}] = \prod_{j = 0}^{q - 1} \frac{2 n_{1} + j}{2 n_{1} + 2 n_{2} + j} = \dots = \frac{Γ (2 n_{1} + q) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2})}{Γ (2 n_{1}) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2} + q)}

$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$

E [(\sqrt{X_{1} X_{2}})^{q}] = \int \int (\sqrt{x_{1} x_{2}})^{q} f_{X_{1}} (x_{1}) f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{1} d x_{2} = \int x^{q / 2} f_{X_{1}} (x_{1}) d x_{1} \cdot \int x_{2}^{q / 2} f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{2} = \frac{1}{B (n_{1}, n_{2})} \int x_{1}^{n_{1} + q / 2 - 1} (1 - x_{1})^{n_{2} - 1} d x_{1} \cdot \frac{1}{B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int x_{2}^{n_{1} + \frac{q + 1}{2} - 1} (1 - x_{2})^{n_{2} - 1} d x_{2} = \frac{B (n_{1} + \frac{q}{2}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{q + 1}{2}, n_{2})}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})}

$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$ Agora, resta apenas aplicar a definição e, em seguida, a fórmula de duplicação . Acontece que a primeira parte e a segunda parte são exatamente iguais.

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

Γ (α) Γ (α + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 α} \sqrt{π} Γ (2 α)

$\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$

StijnDeVuyst
fonte

Eu não acho que você possa dizer que igualdade de momentos implica igualdade de distribuição. Existem exemplos em que isso pode não ser válido.

Landon Carter

StijnDeVuyst, desculpe, esta não é uma resposta aceitável. Eu tenho um exemplo em que os momentos são iguais, mas as distribuições não são as mesmas. O exemplo é um pouco complicado. Lamentavelmente, não tenho o exemplo comigo agora; também veio em um exame do semestre. Mas em breve vou postar o exemplo neste tópico, se você estiver interessado. Enfim, eu mesmo resolvi o problema. Obrigado pela ajuda.

Landon Carter

@yedaynara e Stijn: Um exemplo clássico (devido a Heyde) é devido a Heyde: Considere os pdfs que é o pdf de o lognormal normal e . Todos os membros desta família de distribuições têm os mesmos momentos (de todos os pedidos). Observe que o lognormal padrão é um membro dessa família e seus momentos têm uma boa forma fechada.

f_{b} (x) = f_{0} (x) (1 + b \sin (2 π \log x))

$f_b(x) = f_0(x)(1+b \sin(2\pi\log x))$

f_{0}

$f_0$

b \in [- 1, 1]

$b \in [-1,1]$

cardeal

Existem, no entanto, condições adicionais (por exemplo, de Carleman) nos momentos que garantirão a exclusividade da distribuição. Isso é conhecido como o problema do momento do hambúrguer .

cardeal

Citação de web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/book/papers/… "... É álgebra linear elementar verificar se uma medida positiva com suporte finito é determinada exclusivamente por seus momentos ..." Condição de Carleman para determinação de M para as distribuições Beta no OP. @ cardinal e yedaynara estão ambos corretos que eu fui rápido demais em assumir isso. Mas, aparentemente, o apoio finito é o que salva o dia.

StijnDeVuyst 23/03