Como posso calcular

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Como se pode avaliar a expectativa do CDF quadrado normal em forma fechada?

E[Φ(umaZ+b)2]=-Φ(umaz+b)2ϕ(z)dz

Aqui, , b são números reais, Z N ( 0 , 1 ) e ϕ ( ) e Φ ( ) são as funções de densidade e distribuição de uma variável aleatória normal normal, respectivamente.umabZN(0 0,1 1)ϕ()Φ()

Andrei
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Bem, onde você fica preso? Você já tentou avaliar? Talvez use o fato de que Var(g(X))=E[g(X)2]-(E[g(X)])2
digitou
Tentei avaliar a integral, usando a integração por partes e outras técnicas (simples), mas isso não me levou a lugar algum. Além disso, comecei a partir da variação para chegar até aqui. Encontrei uma pergunta semelhante ( stats.stackexchange.com/questions/61080/… ), mas estender para o CDF ao quadrado não parece ser trivial.
Andrei
Você já pensou em usar coordenadas polares?
StatsStudent
Não, eu não tenho, você pode detalhar um pouco?
Andrei
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Se e a = 1 , então Φ ( Z ) é distribuído uniformemente entre 0 e 1. Seu segundo momento éb=0 0uma=1 1Φ(Z) . Lembro-me de tentar calcular algo como o que você pede geral um e b , mas eu não encontrou soluções de forma fechada. 1 1/3umab
StijnDeVuyst 23/03

Respostas:

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Como observado no meu comentário acima, consulte a Wikipedia para obter uma lista de integrais de funções gaussianas. Usando sua notação, ela fornece ondeT(h,q)é a função T de Owen definida porT(h,q)=ϕ(h)q0ϕ(hx)

Φ(az+b)2ϕ(z)dz=Φ(b1+a2)2T(b1+a2 ,11+2a2),
T(h,q)
T(h,q)=ϕ(h)0 0qϕ(hx)1 1+x2dx

Se você conectar , receberá 1uma=1 1,b=0 0 como os comentários indicam que você deveria.1 13

Soakley
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Muito obrigado, é exatamente isso que eu estava procurando.
Andrei