Uma pergunta relacionada ao lema de Borel-Cantelli

Nota:

O lema de Borel-Cantelli diz que

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

Então,

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

usando o lema de Borel-Cantelli

Eu quero mostrar isso

primeiramente,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n)$ existe

E em segundo lugar,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

Por favor, ajude-me a mostrar essas duas partes. Obrigado.

probability self-study stochastic-processes probability-inequalities B11b
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Não, o lema de Borel-Cantelli não diz (todos) que, pelo menos, não sem outras suposições.

cardeal

@ cardinal bem, como posso mostrar essas duas declarações? por favor, você pode me explicar? Eu não tenho nenhuma idéia suficiente. eu vou ser feliz se você vai mostrar um caminho solutin :) obrigado

B11b

Adicionada uma "suposição adicional".

Zen

Nota menor: como mencionado aqui , por exemplo, podemos sobreviver apenas com independência de na segunda parte do lema

A_{n}

$A_n$

jld 15/11/16

Respostas:

Nenhuma das afirmações é verdadeira.

Seja a chance de as caras uma moeda, com probabilidade quando for ímpar e quando for par. Então: $A_n$ $1/n^2$ $n$ $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

No entanto, claramente não existe. O melhor que você pode concluir é . $\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

Alex R.
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