Existem medidas de similaridade ou distância entre duas matrizes de covariância simétricas (ambas com as mesmas dimensões)?
Estou pensando aqui em análogos à divergência KL de duas distribuições de probabilidade ou à distância euclidiana entre vetores, exceto aplicada a matrizes. Eu imagino que haveria algumas medidas de similaridade.
Idealmente, eu também gostaria de testar a hipótese nula de que duas matrizes de covariância são idênticas.
distributions
hypothesis-testing
covariance-matrix
kullback-leibler
information-theory
Ram Ahluwalia
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Respostas:
Você pode usar qualquer uma das normas (consulte a Wikipedia em uma variedade de normas; observe que a raiz quadrada da soma das distâncias ao quadrado, \ sqrt {\ sum_ {i, j} (a_ {ij} -b_ {ij}) ^ 2} , é chamada norma Frobenius e é diferente da norma L_2 , que é a raiz quadrada do maior autovalor de (AB) ^ 2 , embora, é claro, eles gerassem a mesma topologia). A distância KL entre as duas distribuições normais com a mesma média (digamos zero) e as duas matrizes de covariância específicas também está disponível na Wikipedia como \ frac12 [\ mbox {tr} (A ^ {- 1} B) - \ mbox {ln } (| B | / | A |)] .∥A−B∥p ∑i,j(aij−bij)2−−−−−−−−−−−−√ L2 (A−B)2 12[tr(A−1B)−ln(|B|/|A|)]
Editar: se uma das matrizes é uma matriz implícita no modelo e a outra é a matriz de covariância da amostra, é claro que você pode formar um teste de razão de verossimilhança entre as duas. Minha coleção pessoal favorita desses testes para estruturas simples é apresentada em Rencher (2002) Methods of Multivariate Analysis . Casos mais avançados são abordados na modelagem da estrutura de covariância, na qual um ponto de partida razoável é Equações Estruturais de Bollen (1989) com Variáveis Latentes .
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Indique e suas matrizes da dimensão .Σ1 Σ2 p
Editar: editei a segunda das duas propostas. Eu acho que não entendi a pergunta. A proposta com base nos números de condição é muito usada em estatísticas robustas para avaliar a qualidade do ajuste. Uma fonte antiga que eu poderia encontrar é:
Eu incluí originalmente a medida da relação Det:
que seria a distância de Bhattacharyya entre duas distribuições gaussianas com o mesmo vetor de localização. Devo ter lido originalmente a pergunta como pertencente a um cenário em que as duas covariâncias eram provenientes de amostras de populações que se supunha terem meios iguais.
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Uma medida introduzida por Herdin (2005) Correlation Matrix Distance, uma medida significativa para avaliação de canais MIMO não estacionários é onde a norma é a norma de Frobenius.d=1−tr(R1⋅R2)∥R1∥⋅∥R2∥,
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A distância da matriz de covariância é usada para rastrear objetos no Computer Vision.
A métrica usada atualmente é descrita no artigo: "Uma métrica para matrizes de covariância" , de Förstner e Moonen.
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