Diferença de Média vs. Diferença Média

Ao estudar duas amostras independentes, nos dizem que estamos olhando para a "diferença de duas médias". Isso significa que pegamos a média da população 1 ( ) e subtraímos a média da população 2 ( ). Portanto, nossa "diferença de dois meios" é ( - ). $\bar y_1$ $\bar y_2$ $\bar y_1$ $\bar y_2$

Ao estudar amostras pareadas, somos informados de que estamos observando a "diferença média", $\bar d$ . Isso é calculado considerando a diferença entre cada par e calculando a média de todas essas diferenças.

Minha pergunta é: Nós obtemos o mesmo ( $\bar y_1$ - $\bar y_2$ ) versus seu $\bar d$ se os tivermos calculado a partir de duas colunas de dados, e a primeira vez que consideramos duas amostras independentes e a segunda vez emparelhada dados? Eu brinquei com duas colunas de dados e parece que os valores são os mesmos! Nesse caso, pode-se dizer que os nomes diferentes são usados apenas por razões não quantitativas?

paired-comparisons paired-data mean user84756
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Pense da seguinte maneira: como você calcularia com dados não emparelhados?

\bar{d}

$\bar d$

shadowtalker

@ssdecontrol Especialmente se os tamanhos das amostras forem diferentes.

Alexis

Respostas:

(Suponho que você queira dizer "amostra" e não "população" no seu primeiro parágrafo.)

A equivalência é fácil de mostrar matematicamente. Comece com duas amostras de tamanho igual, e . Em seguida, defina $\{x_1,\dots,x_n\}$ $\{y_1,\dots,y_n\}$

\begin{aligned} \bar{x} & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \\ \bar{y} & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i} \\ \bar{d} & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} - y_{i} \end{aligned}

$\begin{align} \bar x &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \\ \bar y &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \\ \bar d &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i - y_i \end{align}$

Então você tem:

\begin{aligned} \bar{x} - \bar{y} & = (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}) - (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}) \\ = \frac{1}{n} (\sum_{i = 1}^{n} x_{i} - \sum_{i = 1}^{n} y_{i}) \\ = \frac{1}{n} ((x_{1} + \dots + x_{n}) - (y_{1} + \dots + y_{n})) \\ = \frac{1}{n} (x_{1} + \dots + x_{n} - y_{1} - \dots - y_{n}) \\ = \frac{1}{n} (x_{1} - y_{1} + \dots + x_{n} - y_{n}) \\ = \frac{1}{n} ((x_{1} - y_{1}) + \dots + (x_{n} - y_{n})) \\ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} - y_{i} \\ = \bar{d} . \end{aligned}

$\begin{align} \bar x - \bar y &= \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n y_i \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( \left( x_1 + \dots + x_n \right) - \left( y_1 + \dots + y_n \right) \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( x_1 + \dots + x_n - y_1 - \dots - y_n \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( x_1 - y_1 + \dots + x_n - y_n \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( \left( x_1 - y_1 \right) + \dots + \left( x_n - y_n \right) \right) \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n x_i - y_i \\ &= \bar d. \end{align}$

shadowtalker
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Mas dois intervalos de confiança calculados para "a diferença dos meios" e "a diferença média" serão diferentes, certo? Isso pode ser visto olhando para e . Uma "diferença média" emparelhada será diferente para (que é zero) versus (que não é zero); a diferença dos meios não é afetada pela ordem dos elementos.

A = [1, 2, 3, 4, 5, . . .]

$A = [1, 2, 3, 4, 5, ...]$

B = [. . ., 5, 4, 3, 2, 1]

$B = [..., 5, 4, 3, 2, 1]$

A - A

$A - A$

A - B

$A - B$

BERS

Não consigo mais editar minha postagem anterior. A terceira frase deve começar "Uma sequência de 'diferenças médias' emparelhadas ..." "

bers

@bers, o que tem a ver com isso?

A - A

$A-A$

shadowtalker

Suponha . Então e são duas seqüências diferentes. O intervalo de confiança para a diferença média emparelhada certamente será diferente nos dois casos. Mas a diferença de médias e, portanto, o intervalo de confiança, será idêntica para e . Ou eu estou errado?

C = A

$C=A$

A - C

$A-C$

A - B

$A-B$

A - C

$A-C$

A - B

$A-B$

BERS

@bers Eu acho que você está confuso, mas estou confuso quanto ao que você está confuso.

shadowtalker

a distribuição da diferença média deve ser mais rigorosa que a distribuição da diferença de médias. Veja isso com um exemplo fácil: média na amostra 1: 1 10 100 1000 média na amostra 2: 2 11 102 1000 a diferença de médias é 1 1 2 0 (diferente das amostras em si) tem um valor padrão pequeno.

Vlad
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