A mediana é uma propriedade "métrica" ​​ou "topológica"?

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Peço desculpas pelo leve abuso de terminologia; Espero que fique claro o que quero dizer abaixo.

Considere uma variável aleatória . Tanto a média quanto a mediana podem ser caracterizadas por um critério de otimalidade: a média é o número que minimiza e a mediana esse número que minimiza . Nesta perspectiva, a diferença entre média e mediana é a escolha de "métrica" ​​para avaliar desvios, o quadrado ou o valor absoluto.XμE((Xμ)2)E(|Xμ|)

Por outro lado, a mediana é o número para o qual (assumindo continuidade absoluta), ou seja, essa definição depende apenas da capacidade de ordenar valores de e é independente de quanto eles diferem. Uma conseqüência disso é que, para toda função estritamente crescente , , o que significa que é "topológica" no sentido de invariância sob transformações "semelhantes a borracha".Pr(Xμ)=12Xf(x)median(f(X))=f(median(X))

Agora eu fiz as contas e sei que, a partir do critério de otimização, posso chegar ao -quantile, então ambos descrevem a mesma coisa. Mas ainda estou confuso, porque minha intuição me diz que algo que depende de uma "métrica" ​​não pode levar a uma propriedade "topológica".12

Alguém pode resolver esse enigma para mim?

A. Donda
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Bom título! :-)
Luis Mendo

Respostas:

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A falha no seu raciocínio é que algo que depende de uma métrica não pode ser uma propriedade topológica.

Leve compacidade de espaços métricos. Isso pode ser definido em termos da métrica: compacidade significa que o espaço está completo (depende da métrica) e totalmente limitado (depende da métrica). Acontece, porém, que essa propriedade é invariável sob o homeomorfismo e, de fato, pode ser definida apenas em termos de topologia (sub-capas finitas de qualquer capa, da maneira usual).

Outro exemplo são as várias teorias de homologia. Somente a homologia singular é verdadeiramente topológica em sua definição. Todos os outros, simplais, celulares, De Rham (cohomologia, mas me concede um pouco de folga), etc, dependem de estrutura extra, mas acabam sendo equivalentes (e um pouco mais fáceis de trabalhar).

Isso ocorre muito em matemática, às vezes a maneira mais fácil de definir algo é em termos de alguma estrutura auxiliar e, em seguida, é demonstrado que a entidade resultante não depende, de fato, da escolha da estrutura auxiliar.

Matthew Drury
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Obrigado pela resposta! Parece que você está levando minha terminologia mais a sério do que eu pensava ser possível. Tenho que admitir que tenho apenas o conhecimento mais básico de espaços topológicos e métricos, portanto, essa pode ser uma pergunta estúpida: entendo que o uso de uma estrutura auxiliar facilita a vida, embora não seja estritamente necessário - ok, talvez seja esse o caso aqui também.
A.Delda
Mas você também diz que "a entidade resultante não depende, de fato, da escolha da estrutura auxiliar". Entendo corretamente que é possível usar estruturas auxiliares diferentes para chegar exatamente à mesma topologia? Se sim, então a analogia se quebra aqui, porque usando a "métrica quadrada" não chego à mediana, mas à média, que não é invariável sob transformações monotônicas.
A.Delda
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Bom ponto. Suponho que estou dizendo que não é de surpreender que algo que possa ser definido em termos de estrutura acabe definível em termos de estrutura mais fraca - e frequentemente quando isso acontece, você encontrou um conceito útil! No seu caso, você pode definir a mediana em termos de aritmética e integração de números reais, o que é muita estrutura, mas, de fato, existe uma definição que comercializa a aritmética para a ordem, uma estrutura mais fraca. Meus casos estavam no extremo, onde a estrutura mais fraca acaba por ser quase nenhuma estrutura.
Matthew Drury
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Outro ponto. Você poderia dizer que a razão pela qual as transformações monotônicas preservam a mediana é porque existe uma maneira de defini-las em termos de estrutura para a qual as transformações monotônicas são os morfismos . Morfismo é uma palavra geral absurda e abstrata que significa função que preserva alguma estrutura .
Matthew Drury
Ok, entendi o ponto geral. Mas ainda sinto que ainda há algo inexplicável, em particular o ponto mencionado acima. Votei positivamente, mas por esse motivo não aceitarei sua resposta - talvez alguém tenha alguma ideia adicional. Obrigado novamente!
A. Donda 5/05