ANOVA de medidas repetidas: qual é a suposição de normalidade?

Estou confuso sobre a suposição de normalidade em medidas repetidas ANOVA. Especificamente, estou me perguntando que tipo de normalidade exatamente deve ser satisfeita. Ao ler a literatura e as respostas no currículo, encontrei três formulações distintas dessa suposição.

1. A variável dependente dentro de cada condição (repetida) deve ser distribuída normalmente.

   Afirma-se frequentemente que o rANOVA possui as mesmas suposições que a ANOVA, mais a esfericidade. Essa é a alegação de de Campo estatísticas Descoberta , bem como na da Wikipedia artigo sobre o assunto e texto de Lowry .

2. Os resíduos (diferenças entre todos os pares possíveis?) Devem ser distribuídos normalmente.

   Eu encontrei essa afirmação em várias respostas no CV ( 1 , 2 ). Por analogia do rANOVA ao teste t emparelhado , isso também pode parecer intuitivo.

3. A normalidade multivariada deve ser satisfeita.

   A Wikipedia e essa fonte mencionam isso. Além disso, eu sei que o rANOVA pode ser trocado por MANOVA, o que pode merecer essa afirmação.

São equivalentes de alguma forma? Eu sei que normalidade multivariada significa que qualquer combinação linear dos DVs é normalmente distribuída; portanto, 3. incluiria naturalmente 2. se eu entendi o último corretamente.

Se estes não são os mesmos, qual é a suposição "verdadeira" do rANOVA? Você pode fornecer uma referência?

Parece-me que há mais suporte para a primeira reivindicação. Isso não está alinhado, no entanto, com as respostas geralmente fornecidas aqui.

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Modelos mistos lineares

Devido à dica de @ utobi, agora entendo como o rANOVA pode ser reapresentado como um modelo misto linear. Especificamente, para modelar como alterações na pressão arterial com o tempo, eu modelar o valor esperado como: onde y i j são medições de pressão sanguínea, um i o sangue médio pressão do i sujeito -ésima, e t i j como o j tempo -ésimo o i sujeito -ésimo foi medido, b

$$\mathrm{E}\left[y_{ij}\right]=a_{i}+b_i t_{ij},$$ $y_{ij}$$a_{i}$$i$$t_{ij}$$j$$i$$b_i$denotando que a mudança na pressão arterial também é diferente entre os sujeitos. Ambos os efeitos são considerados aleatórios, uma vez que a amostra de sujeitos é apenas um subconjunto aleatório da população, o que é de interesse primário.

Finalmente, tentei pensar no que isso significa para a normalidade, mas com pouco sucesso. Parafraseando McCulloch e Searle (2001, p. 35. Eq. (2.14)):

$$\begin{align} \mathrm{E}\left[y_{ij}|a_i\right] &= a_i \\[5pt] y_{ij}|a_i &\sim \mathrm{indep.}\ \mathcal{N}(a_i,\sigma^2) \\[5pt] a_i &\sim \mathrm{i.i.d.}\ \mathcal{N}(a,\sigma_a^2) \end{align}$$

Eu entendo que isso significa que

4. os dados de cada indivíduo precisam ser normalmente distribuídos, mas isso não é razoável para testar com poucos pontos no tempo.

Entendo a terceira expressão para dizer que

5. as médias de assuntos individuais são normalmente distribuídas. Observe que essas são outras duas possibilidades distintas além das três mencionadas acima.

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McCulloch, CE e Searle, SR (2001). Modelos generalizados, lineares e mistos . Nova York: John Wiley & Sons, Inc.

Este é o modelo ANOVA de medidas repetidas mais simples se o tratarmos como um modelo univariado:

$$y_{it} = a_{i} + b_{t} + \epsilon_{it}$$

$i$$t$$y_{it}$$a_{i}$$b_{t}$$\epsilon_{it}$

Não precisamos fazer suposições distributivas sobre , pois elas podem entrar no modelo como efeitos fixos, variáveis ​​simuladas (ao contrário do que fazemos com modelos lineares mistos). O mesmo acontece com os bonecos do tempo. Para esse modelo, você simplesmente regride o resultado de forma longa em relação aos manequins da pessoa e aos manequins de tempo. O efeito do interesse são os manequins do tempo, o teste F que testa a hipótese nula de que b 1 = . . . = b t = 0 é o principal teste na ANOVA de medidas repetidas univariada.$a_{i}$$F$$b_{1}=...=b_{t}=0$

Quais são as premissas necessárias para o teste se comportar adequadamente? O relevante para sua pergunta é:$F$

$$\begin{equation} \epsilon_{it}\sim\mathcal{N}(0,\sigma)\quad\text{these errors are normally distributed and homoskedastic} \end{equation}$$

$F$

Se você deseja tratar as medidas repetidas ANOVA como um modelo multivariado, as suposições de normalidade podem ser diferentes e não posso expandi-las além do que você e eu vimos na Wikipedia.

A explicação da normalidade da ANOVA de medidas repetidas pode ser encontrada aqui:

Entendendo as premissas ANOVA de medidas repetidas para interpretação correta da saída do SPSS

Você precisa da normalidade das variáveis ​​dependentes nos resíduos (isso implica uma distribuição normal em todos os grupos, com variação comum e média dependente do grupo), como na regressão.
Como você notou, a normalidade multivariada implica que todas as combinações lineares das variáveis ​​dependentes são normalmente distribuídas, portanto é um conceito mais forte do que a normalidade de variáveis ​​únicas ($3 \rightarrow 1$) No entanto, não estou convencido de que isso implique normalidade de resíduos ($3 \rightarrow 2$), dados os resíduos são determinados por variáveis ​​independentes (grupos, na ANOVA) também. Eu concordo com você para o ponto$5$: você está basicamente falando sobre um efeito aleatório em nível individual com uma distribuição normal.